第十讲 矩阵的三角分解

一、 Gauss消元法的矩阵形式

n元线性方程组

设,设A的k阶顺序主子式为，若，可以令

并构造Frobenius矩阵

计算可得

该初等变换不改变行列式，故，若，则，又可定义

，并构造Frobenius矩阵

依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到

（r＝2,3,,n-1）

则A的r阶顺序主子式，若，则可定义，并构造Frobenius矩阵

（r＝2,3,,n-1）

直到第（n－1）步，得到

则完成了消元的过程

而消元法能进行下去的条件是（r＝1,2,,n-1）

二、 LU分解与LDU分解

容易求出

为下三角矩阵

令为上三角矩阵，则

（L: lower U: upper L: left R: right）

以上将A分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，就称为LU分解或LR分解。

两个三角方程回代即可

LU分解不唯一，显然，令D为对角元素不为零的n阶对角阵，则

可以采用如下的方法将分解完全确定，即要求

L为单位下三角矩阵
U为单位上三角矩阵
将A分解为LDU，其中L、U分别为单位下三角、单位上三角矩

阵，D为对角阵D＝diag[]，而（k=1,2,…n）,

。

n阶非奇异矩阵A有三角分解LU或LDU的冲要条件是A的顺序主子式（r=1,2，,n）

n个顺序主子式全不为零的条件实际上是比较严格的，特别是在数值计算中，很小时可能会带来大的计算误差。因此，有必要采取选主元的消元方法，这可以是列主元（在，，…中选取模最大者作为新的）、行主元（在，，…中选取模最大者作为新的）全主元（在所有（）中选模最大者作为新的）。之所以这样做，其理论基础在于对于任何可逆矩阵A，存在置换矩阵P使得PA的所有顺序主子式全不为零。

列主元素法：在矩阵的某列中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以下的各元素。比如第一步：找第一个未知数前的系数最大的一个，将其所在的方程作为第一个方程，即交换矩阵的两行，自由项也相应变换；第二步变换时，找中最大的一个，然后按照第一步的方法继续。

行主元素法：在矩阵的某行中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以后的各元素，需要记住未知数变换的顺序，最后再还原回去。因此需要更多的存储空间，不如列主元素法方便。

全主元素法：若某列元素均较小或某行元素均较小时，可在各行各列中选取模值最大者最为对角元素。与以上两种方法相比，其计算稳定性更好，精度更高，计算量增大。

 

三、其他三角分解

1. 定义 设A具有唯一的LDU分解

若将D、U结合起来得（），则称为A的Doolittle分解
若将L、D结合起来得（），则称为A的Crout分解

2. 算法

Crout分解，设

，

由乘出得

①

②

③

④

⑤ 一般地，对A,的第k列运算，有

⑥ 对A，U的第k行运算，有

直至最后，得到的恰可排成

先算列后算行

3. 厄米正定矩阵的LU分解（Cholesky分解）

其中G为下三角矩阵，

理论上，Cholesky具有中间量可以控制（）的好处，应较稳健，但实际计算中发现，对希尔伯特矩阵问题，不如全主元方法。

 

 

 

作业：p195 2、3

欢迎访问我的专业知识博客！
博主：白途思（begtostudy）
微信/QQ：370566617
Email：begtostudy#gmail.com
欢迎访问我的其他博客：我的编程知识博客 我的学术知识博客