一,BL模型的发展

马科维茨（Harry Markowitz）的现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory）对于量化投资有着开天辟地的作用。它通过“均值 — 方差”最优化来确定最佳资产配置组合，同时考虑收益的最大化和风险的最小化（Markowitz 1952）。

然而，令人倍感意外的是，“均值 — 方差”法虽然在数学上十分优雅，但它在投资实务中的影响却远不及它在理论上的名声卓著。究其原因，是因为它给出的最佳投资组合对该模型的核心输入之一即投资品的期望收益率非常敏感；而且期望收益率很难准确预测。

为解决这个问题，两位量化投资界的先驱 —— 高盛的 Fischer Black 和 Robert Litterman 发明了大名鼎鼎的 Black-Litterman 资产配置模型（Black and Litterman 1992）。该模型以市场均衡假设推出的资产收益率为出发点，结合投资者对不同投资品收益率的主动判断，最终确定投资品的收益率和最佳的投资组合配置。

二,均值方差模型的缺点

假设我们要在 N 个投资品之间进行资产配置。马科维茨的现代资产配置理论以这些投资品的期望收益率和协方差矩阵作为输入，通过最优化下列目标函数求出最佳的投资组合：

其中 表示投资品的期望收益率向量， 表示投资品的协方差矩阵， 表示投资者的风险厌恶系数， 则是投资品在投资组合中的配置权重。在不考虑任何约束的情况下，该问题的最优解，即最佳资产配置为：

该模型之所以在实际中被专业投资机构诟病有两个原因。第一是因为它的输入非常严苛：投资者必须提供待配置投资品的期望收益率和协方差。一旦预测的数值非常离谱，那么资产配置效用的最大化就变成误差的最大化。对于协方差，通过历史数据计算尚且能用，但是对于未来的期望收益率的准确预测却难上加难。二者相较，期望的预测比协方差的预测更加重要

Chopra and Ziemba (1993) 指出，收益率期望的误差对资产配置的影响比协方差的影响高一个数量级。

第二个原因是，它求出的最佳资产配置权重对期望收益率非常敏感。当期望收益率有哪怕仅仅一点变化时，它给出的最佳配置较之前的配置可能发生很大的改变，这样的结果很难被投资者所接受。

人们很难有效的预测期望收益率；
最优资产组合配置对输入非常敏感，结果往往难以被人理解。

为了解决这两个问题，Black 和 Litterman 于 1992 年提出了 Black-Litterman 模型。

三,收益率的贝叶斯收缩

与“均值 — 方差”模型相比，Black-Litterman 模型最大的区别在于对收益率的预测。在收益率预测方面，Black-Litterman 最本质的核心是它在贝叶斯框架下使用先验收益率以及新息得到后验收益率，它是一种对收益率的贝叶斯收缩（Bayes shrinkage）。得到收益率后，Black-Litterman 模型同样通过求解第二节中的最优化问题确定最优的资产配置权重。

贝叶斯收缩以某种方法得出的期望收益率作为先验（prior），以最近 T 期收益率数据求出样本期望收益率作为新息（new observation），结合前两者最终计算出后验期望收益率（posterior）。该方法以最优的比例使基于新息的预测向先验预测“收缩”，这个最优的比例使得后验期望收益率的误差最小。

在数学上，上述方法的表达式如下：

其中 ， 及 分别表示先验、后验、新息期望收益率向量； 是先验期望收益率的协方差矩阵， 为新息期望收益率的协方差矩阵（ 为收益率的样本协方差矩阵、T 为样本数即期数）；-1 次方表示对矩阵求逆。

不难看出，后验期望收益率 就是 先验 和新息 的加权平均，而这两者的权重与它们各自的精度（由协方差矩阵的逆衡量）有关，这就是贝叶斯收缩的核心。在现实中使用上述方法时，对于期望收益率的先验，可以采用因子法或者经验法估计，不同的方法各有千秋。了解了贝叶斯收缩之后，我们马上来看解释 Black-Litterman 模型。

四,贝叶斯框架下的BL模型

Black-Litterman 模型的本质就是一种收益率的贝叶斯收缩，只不过无论是期望收益率的先验还是新息，都是从投资的实务出发的（毕竟提出这个的人来自高盛，出发点是为了解决实际资产配置中遇到的问题）。

先来看看先验期望收益率。

Black-Litterman 模型从市场的供需出发，认为投资品在整个市场中按其市值的占比体现了当前市场供需关系的均衡状态（equilibrium）。投资品市值与市场总市值的比值就是该投资品在这个市场均衡组合中的权重，记为 。在这个基础上，模型进一步假设各投资品的在市场组合中的配置比例 是由投资者追求效用的最大化（即第二节中的最优化问题）所致，并由 反推出市场均衡状态下各投资品的收益率，把它作为先验：

对于先验期望收益率的协方差矩阵，模型假设它和收益率的协方差矩阵 有着同样的结构，但是数量级要小很多。它用一个很小的标量 作为缩放尺度，得到先验期望收益率的协方差矩阵 。

再来看看新息期望收益率。

Black-Litterman 模型将新息定义为投资者对于投资品收益率相对强弱的主动判断（称为 views，即观点）。举个例子，有两个投资品 A 和 B，我们通过分析认为 A 比 B 的期望收益率要高 2%，这意味着做多 A 并同时做空 B 的投资组合可以获得 2% 的收益。在数学上，假设 E[A] 和 E[B] 表示 A 和 B 的新息期望收益率，则上述观点可以表述为：

其中 是 K × N 矩阵（K 表示 views 的个数；N 表示投资品的个数；本例中 ）；μ 表示新息期望收益率向量（本例中是 ）； 是 K 阶向量（本例中 ），表示每个 view 中投资品收益率相对强弱的大小。

这个方法的好处是，它事实上根本无需投资者来猜 （在稍后的推导中可以看到， 不出现在贝叶斯收缩的表达式中），而只需要投资者提供矩阵 和向量 来表达自己的观点。

现实中，投资者往往对自己的 views 并不是 100% 确定。这时，我们可以把收益率相对强弱的取值理解为来自一个正态分布，并通过该分布的标准差来描述主动判断的不确定性。例如在上面的例子中，我们可以说 A 比 B 的期望收益率要高 2%，而标准差为 3%。在数学上，该模型使用 K × K 的矩阵 记录 views 的不确定性。模型假设 views 之间相互独立，因此 Ω 是一个对角阵，对角线上的元素表示对这 K 个 views 的方差。最后，通过 P 将 的逆矩阵转化为 （N × N 矩阵）作为新息期望收益率的精度。

把先验和新息期望收益率套到贝叶斯收缩的框架中就得到 Black-Litterman 模型下的后验期望收益率：

上面的推导中用到了 ，从而巧妙的将 从贝叶斯收缩的表达式中消除了。求出后验期望收益率 之后，带入第二节的最优化问题中，便可以求出 Black-Litterman 模型下的最优投资组合权重：