怎么来理解伽玛（gamma）分布？

Gamma分布即为多个独立且相同分布（iid）的指数分布变量的和的分布。
（最新修改，希望能够行文布局更有逻辑）

——————泊松过程——————
指数分布和泊松分布的关系十分密切，是统计学中应用极大的两种分布。
其中泊松过程是一个显著应用。

泊松过程是一个计数过程，通常用于模拟一个（非连续）事件在连续时间中发生的次数。
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 为一个泊松过程，则其满足三个性质：
① $N(0)=0$ （t=0时什么都没发生）

② $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ （增量）之间互相独立：
扩展补充： $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 与 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 互相独立，且在计数过程中
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
这是因为
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
$=Pr(N(t+1)=n_{t+1}|N(t)=n_{t})$

③ $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
即 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
根据增量独立性，易知其成立。

——————泊松→指数——————
假设 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 为第 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 次事件与第 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 次事件的间隔时间。
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
所以 $T_{1} sim Exp(lambda)$

$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
所以 $T_{i} sim Exp(lambda)$

即泊松过程的事件间隔时间为指数分布。

——————指数→Gamma—————
再令 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ ，即从头开始到第 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 次事件的发生的时间，该随机变量分布即为Gamma分布。
即 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 。
Gamma分布即为多个独立且相同分布（iid）的指数分布变量的和的分布。

——————证明——————
假设 $X_{1},X_{2},X_{3},...X_{n}sim Exp(lambda )$ 且互相独立

①Moment Generating Function（MGF）：
MGF的定义为 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
则 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
其性质为 $M_{X+Y}(t)=M_{X}(t) imes M_{Y}(t)$

下证：
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
则 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
为Gamma分布的MGF。
MGF:Moment-generating function

②数学归纳法：
已知 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
所以当 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 时成立。
假设 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 时 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 成立
当 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$ 时，
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
其中 $怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
$怎么来理解伽玛（gamma）分布？-风君雪科技博客$
为 $Gamma(k+1, lambda)$ 的pdf。证毕。