一、假设检验

假设检验是根据一定的假设条件，由样本推断总体的一种方法。

假设检验的基本思想是小概率反证法思想，小概率思想认为小概率事件在一次试验中基本上不可能发生，在这个方法下，我们首先对总体作出一个假设，这个假设大概率会成立，如果在一次试验中，试验结果和原假设相背离，也就是小概率事件竟然发生了，那我们就有理由怀疑原假设的真实性，从而拒绝这一假设。

二、假设检验的四种方法

1、有关平均值参数u的假设检验

根据是否已知方差,分为两类检验：U检验和T检验。
如果已知方差，则使用U检验，如果方差未知则采取T检验。

2、有关参数方差σ2的假设检验

F检验是对两个正态分布的方差齐性检验，简单来说，就是检验两个分布的方差是否相等

3、检验两个或多个变量之间是否关联

卡方检验属于非参数检验，主要是比较两个及两个以上样本率（构成比）以及两个分类变量的关联性分析。根本思想在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或者拟合优度问题。

三、U检验（Z检验）

U检验又称Z检验。

Z检验是一般用于大样本(即样本容量大于30)平均值差异性检验的方法（总体的方差已知）。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。

Z检验步骤：

第一步：建立虚无假设 H0:μ1 = μ2 ，即先假定两个平均数之间没有显著差异，

第二步：计算统计量Z值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法，

1、如果检验一个样本平均数（X）与一个已知的总体平均数(μ0)的差异是否显著。其Z值计算公式为：

其中：

X是检验样本的均值；

μ0是已知总体的平均数；

S是总体的标准差；

n是样本容量。

2、如果检验来自两个的两组样本平均数的差异性，从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著。其Z值计算公式为：

第三步：比较计算所得Z值与理论Z值，推断发生的概率，依据Z值与差异显著性关系表作出判断。如下表所示：

第四步：根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。

例子：一种原件，要求使用寿命不低于1000小时，现从一批这种原件中抽取25件，测得其使用寿命的平均值为950小时，已知该原件服从标准差S=100小时的正太分布，试在显著性水平α=0.05下确定这批原件是否合格

解：使用寿命小于1000小时即为不合格，此题为左单侧检验

拒绝域为：Z<-μα ; 查表得 μ0.05=1.65

已知s2=100*2，X=950，n=25 假设H0：μ=1000；H1<1000

选取统计量 Z=（X – μ）（S/√n）= （950-1000）/（100/√25）=-2.5

因为 Z=-2.5<<-μα =-1.65 ，所以拒绝H0，即认为这批原件不合格

四、T检验

亦称student t检验（Student’s t test），主要用于样本含量较小（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布。目的是用来比较样本均数所代表的未知总体均数μ和已知总体均数μ0。

T统计量计算公式：

自由度：v=n – 1

T检验的步骤

第一步：建立虚无假设H0:μ1 = μ2，即先假定两个总体平均数之间没有显著差异；

第二步：计算统计量T值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法

1、如果要评断一个总体中的小样本平均数与总体平均值之间的差异程度，其统计量T值的计算公式为：

2、如果要评断两组样本平均数之间的差异程度，其统计量T值的计算公式为：

第三步：根据自由度df=n-1，查T值表，找出规定的T理论值并进行比较。理论值差异的显著水平为0.01级或0.05级。不同自由度的显著水平理论值记为T(df)0.01和T(df)0.05

第四步：比较计算得到的t值和理论T值，推断发生的概率，依据下表给出的T值与差异显著性关系表作出判断。

第五步：根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。

实际应用中，T检验可分为三种：单样本T检验、配对样本T检验和双独立样本T检验

单样本T检验

例子：已知某班的一次数学测验成绩复查正态分布，现从全班中抽取16人，测得这些人成绩是[50,44,91,90,74,72,89,81,65,62,68,74,63,61,33,47]，问在α=0.05下，是否可以认为全体考生的平均分是70分？

from scipy import stats
import numpy as np
 
rvs = [50,44,91,90,74,72,89,81,65,62,68,74,63,61,33,47]
mean = np.mean(rvs)#均值
std = np.std(rvs)#标准差
print("均值：",mean,"  标准差:",std)
 
t_val, p = stats.ttest_1samp(rvs, 70)
print("t_val:",t_val,"   p值：", p)

结论，因为p值=0.42>0.05，所以可以认为全体考生的平均分是70分

配对样本T检验

配对t检验是采用配对设计方法观察以下几种情形：

1.配对的两个受试对象分别接受两种不同的处理；

2.同一受试对象接受两种不同的处理；

3.同一受试对象处理前后的结果进行比较（即自身配对）；

4.同一对象的两个部位给予不同的处理。

例子：在针织品漂白工艺过程中，要考虑温度对针织品断裂强力（主要质量指标）的影响。为了比较70℃与80℃的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，强力数据如下。问在70℃时的平均断裂强力与80℃时的平均断裂强力间是否有显著差别？假定断裂强力服从正态分布(α=0.05)

70℃时的强力:20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2

80℃时的强力:17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.0, 19.1

from  scipy.stats import ttest_rel
import pandas as pd
 
x = [20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2]
y = [17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.0, 19.1]
# 配对样本t检验
t_val, p = ttest_rel(x, y)
print('t_val：',t_val,"   p值：", p)

结论: 因为p值=0.1149>0.05, 故接受原假设, 认为在70℃时的平均断裂强力与80℃时的平均断裂强力间无显著差别

双独立样本T检验

例子：甲乙两台机床加工螺丝帽，螺丝帽的半径都服从正态分布，为验证两台机床加工的螺丝帽半径是否相等，分别取两台机床加工的8、7枚螺丝帽进行测量，分别测得[20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9][20.7,19.8,19.5,20.8,20.4,19.6,20.2] 问两台机器生产的螺丝帽半径是否有差异（α=0.05）

from scipy.stats import norm,ttest_ind #引入正态分布(norm)，T检验（ttest_ind）
 
n1_samples = [20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9]
n2_samples = [20.7,19.8,19.5,20.8,20.4,19.6,20.2]
 
#独立双样本 t 检验的目的在于判断两组样本之间是否有显著差异：
t_val, p = ttest_ind(n1_samples, n2_samples)
print('t_val：',t_val,"   p值：", p) #p值小于0.05时，认为差异显著；大于等于0.05时表示差异不显著

结论：p值=0.408>0.05，接受原假设，甲乙机床制造的螺丝帽半径没有显著性差异

五、卡方检验

卡方检验又称X2检验，就是检验两个变量之间有没有关系。

属于非参数检验，主要是比较两个及两个以上样本率（构成比）以及两个分类变量的关联性分析。根本思想在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或者拟合优度问题。

X2计算公式为：

例子1：有AB两种药可以治疗某种疾病，问两种药物的疗效是否相同？

药类	有效	无效	合计	有效率
A药	67	26	93	72.04%
B药	44	30	74	59.46%
合计	111	56	167	66.47%

解：建立假设H0，两种药物疗效相同，计算得其理论值为：

药类	有效	无效	合计
A药	61.8	31.2	93
B药	49.2	24.8	74
合计	111	56	167

X2=（67-61.8）2/61.8+（26-31.2）2/31.2+（44-49.2）2/49.2+（30-24.8）2/24.8=2.94

查表得P>0.1，按0.05标准，不拒绝H0，即可以认为两种药物的疗效相同

例子2：探究死亡年龄和居住地、性别是否有关？

#old     | ruralMale| ruralFemale | urbanMale | urbanFemale
#50-54 | 11.7        | 8.7               | 15.4           | 8.4
#55-59 | 18.1       |11.7              | 24.3           | 13.6
#60-64 | 26.9        | 20.3             | 37             | 19.3
#65-69 | 41          | 30.9             | 54.6           | 35.1
#70-74 | 66           | 54.3             | 71.1           | 50

from  scipy.stats import chi2_contingency
import numpy as np
kf_data = np.array([[11.7,8.7,15.4,8.4], 
                    [18.1,11.7,24.3,13.6],
                    [26.9,20.3,37,19.3],
                    [41,30.9,54.6,35.1],
                    [66,54.3,71.1,50]])
kf = chi2_contingency(kf_data)
print('chisq-statistic=%.4f, p-value=%.4f, df=%i 
 expected_frep: 
%s'%kf)

结论: 因为p值=0.9961>0.05, 故接受原假设, 认为死亡年龄和居住地、性别无显著差别。

六、F检验

F检验法是检验两个正态随机变量的总体方差是否相等的一种假设检验方法。

F统计量计算公式：

例子：存在两组数据，需要验证这两组数据的方差齐性。
x = [20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2]
y = [17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.0, 19.1]

from scipy.stats import levene
 
x = [20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2]
y = [17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.0, 19.1]
f_val, p = levene(x, y)
print(f_val, p)