1. BM（Boyer-Moore）算法

• 思想：有模式串中不存在的字符，那么肯定不匹配，往后多移动几位，提高效率
  
• BM原理：坏字符规则，好后缀规则

1.1 坏字符规则

• 利用坏字符规则，BM算法在最好情况下的时间复杂度非常低，是O（n/m）。比如，主串是aaabaaabaaabaaab，模式串是aaaa。每次比对，模式串都可以直接后移四位，所以，匹配具有类似特点的模式串和主串的时候，BM算法非常高效。
• 单纯使用坏字符规则还是不够的。因为根据 si-xi计算出来的移动位数，有可能是负数，比如主串是aaaaaaaaaaaaaaaa，模式串是baaa。不但不会向后滑动模式串，还有可能倒退。所以，BM算法还需要用到“好后缀规则”。

1.2 好后缀规则

从好后缀的后缀子串中，找一个最长的且和模式串的前缀子串匹配的 {v}，滑动至 {v} 对齐

1.3 两种规则如何选择

• 分别计算好后缀和坏字符规则往后滑动的位数，取大的，作为滑动位数（还可以避免负数）

2. BM算法代码实现

2.1 坏字符

• 找到坏字符在模式串中的位置(有重复的，则是靠后的那个)
  采用哈希，而不是遍历。
  

#define SIZE 256 //字符集字符数
void generateBadChar(char *b, int m, int *badchar)//(模式串字符b，模式串长度m，模式串的哈希表)
{ 
   
    int i, ascii;
    for(i = 0; i < SIZE; ++i)
    { 
   
        badchar[i] = -1;//哈希表初始化为-1
    }
    for(i = 0; i < m; ++i)
    { 
   
        ascii = int(b[i]);  //计算字符的ASCII值
        badchar[ascii] = i;//重复字符被覆盖，记录的是最后出现的该字符的位置
    }
}

int str_bm(char *a, int n, char *b, int m)
//只考虑坏字符方法的程序框架
{ 
   
    int *badchar = new int [SIZE];//记录模式串中每个字符最后出现的位置
    generateBadChar(b,m,hash);     //构建坏字符哈希表
    int i = 0, j;
    while(i < n-m+1)
    { 
   
        for(j = m -1; j >= 0; --j)  //模式串从后往前匹配
        { 
   
            if(a[i+j] != b[j])
                break;  //坏字符对应模式串中的下标是j
        }
        if(j < 0)   //匹配成功
        { 
   
            return i;   //返回主串与模式串第一个匹配的字符的位置
        }
        //这里等同于将模式串往后滑动 j-badchar[int(a[i+j])] 位
        i = i + (j - badchar[int(a[i+j])]);
    }
    return -1;
}

2.2 好后缀

• 在模式串中，查找跟好后缀匹配的另一个子串
• 在好后缀的后缀子串中，查找最长的、能跟模式串前缀子串匹配的后缀子串

不考虑效率的话，上面两个操作都可以暴力查找；
解决办法： 预先对模式串进行处理。


实现过程：

预处理模式串，填充suffix，prefix

void generateGS(char *b, int m, int *suffix, bool *prefix)
//预处理模式串，填充suffix，prefix
{ 
   
    int i, j, k;
    for(i = 0; i < m; ++i)//两个数组初始化
    { 
   
        suffix[i] = -1;
        prefix[i] = false;
    }
    for(i = 0; i < m-1; ++i)//b[0,i]
    { 
   
        j = i;
        k = 0;//公共后缀子串长度(模式串尾部取k个出来，分别比较)
        while(j >= 0 && b[j] == b[m-1-k])//与b[0,m-1]求公共后缀子串
        { 
   
            --j;
            ++k;
            suffix[k] = j+1;
            //相同后缀子串长度为k时，该子串在b[0,i]中的起始下标
            // (如果有多个相同长度的子串，被赋值覆盖，存较大的)
        }
        if(j == -1)//查找到模式串的头部了
            prefix[k] = true;//如果公共后缀子串也是模式串的前缀子串
    }
}

计算滑动位数

• case1：
  
• case2：
  
• case3：（以上都不成立，移动整个模式串（长度m））
  

2.3 完整代码

/** * @description: 字符匹配BM算法 * @author: michael ming * @date: 2019/6/18 22:19 * @modified by: */
#include <algorithm>
#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
#define SIZE 256 //字符集字符数
void generateBadChar(char *b, int m, int *badchar)//(模式串字符b，模式串长度m，模式串的哈希表)
{ 

int i, ascii;
for(i = 0; i < SIZE; ++i)
{ 

badchar[i] = -1;//哈希表初始化为-1
}
for(i = 0; i < m; ++i)
{ 

ascii = int(b[i]);  //计算字符的ASCII值
badchar[ascii] = i;//重复字符被覆盖，记录的是最后出现的该字符的位置
}
}
void generateGS(char *b, int m, int *suffix, bool *prefix)//预处理模式串，填充suffix，prefix
{ 

int i, j, k;
for(i = 0; i < m; ++i)//两个数组初始化
{ 

suffix[i] = -1;
prefix[i] = false;
}
for(i = 0; i < m-1; ++i)//b[0,i]
{ 

j = i;
k = 0;//公共后缀子串长度(模式串尾部取k个出来，分别比较)
while(j >= 0 && b[j] == b[m-1-k])//与b[0,m-1]求公共后缀子串
{ 

--j;
++k;
suffix[k] = j+1;
//相同后缀子串长度为k时，该子串在b[0,i]中的起始下标
// (如果有多个相同长度的子串，被赋值覆盖，存较大的)
}
if(j == -1)//查找到模式串的头部了
prefix[k] = true;//如果公共后缀子串也是模式串的前缀子串
}
}
int moveByGS(int j, int m, int *suffix, bool *prefix)//传入的j是坏字符对应的模式串中的字符下标
{ 

int k = m - 1 - j;//好后缀长度
if(suffix[k] != -1)//case1，找到跟好后缀一样的模式子串（多个的话，存的靠后的那个（子串起始下标））
return j - suffix[k] + 1;
for(int r = j + 2; r < m; ++r)//case2
{ 

if(prefix[m-r] == true)//m-r是好后缀的子串的长度，如果这个好后缀的子串是模式串的前缀子串
return r;//在上面没有找到相同的好后缀下，移动r位，对齐前缀到好后缀
}
return m;//case3,都没有匹配的，移动m位（模式串长度）
}
int str_bm(char *a, int n, char *b, int m)//a表示主串，长n; b表示模式串,长m
{ 

int *badchar = new int [SIZE];//记录模式串中每个字符最后出现的位置
generateBadChar(b,m,badchar);     //构建坏字符哈希表
int *suffix = new int [m];
bool *prefix = new bool [m];
generateGS(b, m, suffix, prefix);   //预处理模式串，填充suffix，prefix
int i = 0, j, moveLen1, moveLen2;//j表示主串与模式串匹配的第一个字符
while(i < n-m+1)
{ 

for(j = m -1; j >= 0; --j)  //模式串从后往前匹配
{ 

if(a[i+j] != b[j])
break;  //坏字符对应模式串中的下标是j
}
if(j < 0)   //匹配成功
{ 

delete [] badchar;
delete [] suffix;
delete [] prefix;
return i;   //返回主串与模式串第一个匹配的字符的位置
}
//这里等同于将模式串往后滑动 j-badchar[int(a[i+j])] 位
moveLen1 = j - badchar[int(a[i+j])];//按照坏字符规则移动距离
moveLen2 = 0;
if(j < m-1)//如果有好后缀的话
{ 

moveLen2 = moveByGS(j,m,suffix,prefix);//按照好后缀规则移动距离
}
i = i + max(moveLen1,moveLen2);//取大的移动
}
delete [] badchar;
delete [] suffix;
delete [] prefix;
return -1;
}
int main()
{ 

string a = "abcacabcbcbacabc", b = "cbacabc";
cout << a << "中第一次出现" << b << "的位置(从0开始)是：" << str_bm(&a[0],a.size(),&b[0],b.size());
return 0;
}

2.4 调试

为方便调试，将字符集SIZE改为3，ascii = int(b[i]-'a')

• 坏字符在模式串中的位置（靠后的那个）
  badchar[0]：a是4
  badchar[1]：b是5
  badchar[2]：c是6
• 预处理模式串
  
• 按规则移动
  
  
  
  

3. 总结

• BM算法的内存消耗
  整个算法用到了额外的3个数组，其中bc数组的大小跟字符集大小有关，suffix数组和prefix数组的大小跟模式串长度m有关。
  如果处理字符集很大的字符串匹配问题，badchar数组对内存的消耗就会比较多。
  因为好后缀和坏字符规则是独立的，如果运行的环境对内存要求苛刻，可以只使用好后缀规则，不使用坏字符规则，就可以避免badchar数组过多的内存消耗。不过，单纯使用好后缀规则的BM算法效率就会下降一些了。
• 时间复杂度
  以上BM算法是个初级版本。这个版本，在极端情况下，预处理计算suffix数组、prefix数组的性能会比较差。
  比如模式串是aaaaaaa这种包含很多重复的字符的模式串，预处理的时间复杂度就是O（m^2）。如何优化这种极端情况下的时间复杂度退化，以后再找空研究。
  实际上，BM算法的时间复杂度分析起来是非常复杂，论文“A new proof of the linearity of the Boyer-Moore string searching algorithm”证明了在最坏情况下，BM算法的比较次数上限是5n。论文“Tight bounds on the complexity of the Boyer-
  Moore string matching algorithm”证明了在最坏情况下，BM算法的比较次数上限是3n。

• BM算法核心思想是，利用模式串本身的特点，在模式串中某个字符与主串不能匹配的时候，将模式串往后多滑动几位，以此来减少不必要的字符比较，提高匹配的效率。
• BM算法构建的规则有两类，坏字符规则和好后缀规则。
• 好后缀规则可以独立于坏字符规则使用。
• 因为坏字符规则的实现比较耗内存，为了节省内存，我们可以只用好后缀规则来实现BM算法。