离散数学 II（知识点汇总）
目录离散数学 II（知识点汇总）代数系统代数系统定义例子二元运算定义运算及其性质二元运算的性质封闭性可交换性可结合性可分配性吸收律等幂性消去律特殊的元素性质幺元零元逆元证明逆元且唯一定理二元运算表中性质的体现半群广群成立条件半群定义特性子半群独异点成立条件特性证明是半群或独异点群和子群群定义阶数、有限群、无限群1阶、2阶、3阶、4阶群特性幂特性运算表特性运算子群定义判定条件性质平凡子群中心共轭子群阿贝尔群和循环群阿贝尔群 / 交换群定义判定循环群定义特性元素的阶定义性质子群性质置换群和伯恩赛德定理置换成立条件运算置换群定义对称群交错群轮换定义记法对换定义性质诱导的二元关系定义性质三元素集的置换群对称群交错群伯恩赛德定理陪集和拉格朗日定理陪集定义性质特殊关系划分等价关系等价类商集 A/R子群的指数拉格朗日定理推论正规子群和商群正规子群 / 不变子群定义判别单群性质商群运算定义性质推论同态与同构同态映射 / 同态 ~定义同态象自然同态分类同构凯莱定理自同态 / 自同构同态映射性质同态核定义性质同态基本定理第一同构定理 / 商群同构定理环与域定义零元单位元负元逆元例子性质特殊环交换环含幺环无零因子环零因子整环定义子环定义判定定理域定义例子域与整环的关系环的同态定义分类同态像及其特性综合例题
代数系统
代数系统定义
一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk，所组成的系统就称为一个代数系统，记作<A， f1,f2,…,fk >。
例子
例：<N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>都是代数系统,其中+和·分别表示普通加法和乘法。
例：<Mn(R),＋,·>是代数系统,其中＋和·分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法。
例：<ρ(S),∪,∩,~ >也是代数系统，其中含有两个二元运算∪和∩以及一个一元运算 ~。
二元运算定义
S为非空集合，从S×S->S的映射： f: S×S->S称为集合S上的一个二元运算。
运算及其性质
二元运算的性质
封闭性
Premise：(*)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,yin A)
Condition：( x*yin A)
Summary：(*)在A上是封闭的
可交换性
Premise：(*)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,yin A)
Condition：(x*y=y*x)
Summary：(*)在A上是可交换的
可结合性
Premise：(*)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,y,zin A)
Condition：((x*y)*z=x*(y*z))
Summary：(*)在A上是可结合的
可分配性
Premise：(*, riangle)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,y,zin A)
Condition：(x*(y riangle z)=(x*y) riangle (x*z))、((y riangle z)*x=(y*x) riangle (z*x))
Summary：在A上，(*)对于$ riangle $是可分配的
吸收律
Premise：(*, riangle)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,yin A)
Condition：(x*(x riangle y)=x)、(x riangle (x*y)=x)
Summary：(*)和$ riangle $在A上满足吸收律
等幂性
Premise：设(*)是定义在集合A上的二元运算， (forall xin A)
Condition：(x*x=x)
Summary：(*)在A上是等幂的
消去律
Premise：设(*)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,y,z in A)
Condition：（左消去律）(x*y=x*zRightarrow y=z)、（右消去律）(y*x=z*xRightarrow y=z)
Summary：(*)在A上是满足消去律的
特殊的元素性质
(*)是定义在集合A上的二元运算
幺元
左幺元：对于(e_lin A, forall xin A, e_l*x=x)
右幺元：对于(e_rin A, forall xin A, x*e_r=x)
幺元：对于(ein A)，(e)既是左幺元又是右幺元
零元
左零元：对于( heta_lin A, forall xin A, heta_l*x= heta_l)
右零元：对于( heta_rin A, forall xin A, x* heta_r= heta_r)
零元：对于( hetain A)，(e)既是左零元又是右零元
逆元
设在代数系统(<A,*>)中，(*)为二元运算，e为A中关于(*)的幺元，(a,bin A)
左逆元：(b*a=e)，则b为a的左逆元
右逆元：(a*b=e)，则b为a的右逆元
逆元：b既是a的左逆元又是右逆元，则b为a的逆元，记为a^-1^
此时有a与b互为逆元
证明逆元且唯一定理
Premise：(forall ain A)，e为A的逆元，(*)为A的二元运算
Condition：a都有左逆元，(*)可结合
Summary：a的左逆元为a的逆元且唯一
二元运算表中性质的体现
(*)是定义在集合A上的二元运算
封闭性(Leftrightarrow)运算表中所有元素(in A)
可交换性(Leftrightarrow)运算表中所有元素沿对角线对称
等幂性(Leftrightarrow)运算表中主对角线元素等于本身
零元(Leftrightarrow)该元素运算行列元素与其本身相同
幺元(Leftrightarrow)该元素运算行列元素与其对应的行列元素一致
逆元(Leftrightarrow)两元素行列相交处都是幺元
半群
广群
成立条件
(*)运算封闭
半群
定义
(*)运算封闭
(*)运算可结合
特性
A元素有限，则必有等幂元
证：
∵ <S, *>是半群，∴对于(forall)b (in)S，由运算*封闭可知:
b^2^=b*b(in)S，b^2^ *b=b*b^2^=b^3^(in)S ，b^4^，b^5^… (in)S
∵ S有限，∴必定(exists)i,j，j>ｉ，有b^i^=b^j^（第一轮）
∴ b^i^ =b^j^ =b^j-i^ * b^i^
令p=j-i ，则有 b^i^ =b^p^ * b^i^
∴ 对任意q≥i, 有b^q^= b^p^ *b^q^ （第二轮）
又∵p≥1 ∴$exists $k,有kp≥i，则有b^kp^=b^p^ *b^kp^ （第三轮）
由b^kp^=b^p^ *b^kp^得： b^kp^=b^p^ *b^kp^=b^p^ *(b^p^ *b^kp^)=…=b^kp^ *b^kp^
∴令a=b^kp^ (in)S 则a*a=a，∴b^kp^是等幂元。
子半群
(Bsubseteq A)
(*)在B上运算封闭
独异点
成立条件
为半群
含幺元
特性
运算表任意两行两列都不相同
证：
设独异点中幺元为e，对于任意 a,bS且a≠b，总有
（1）∵a*e=a ≠ b=b*e
由a，b任意性， 有<S, *>运算表中任两行不同；
（2）∵e*a = a ≠ b = e*b
由a，b任意性，有<S, *>运算表中任两列不同。
若a，b均有逆元，则
((a^{-1})^{-1}=a)
(a*b)有逆元，且((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1})
证：
a) ∵a^-1^是a的逆元
∴a^-1^既是a的左逆元又是a的右逆元
即：a^-1^ *a=a *a^-1^=e
∴a既是a^-1^的右逆元又是a^-1^的左逆元，
∴ a是a^-1^的逆元 即(a^-1^)^-1^=a
b) 要证(a *b)^-1^=b^-1^ *a^-1^，即证b^-1^ *a^-1^为a*b的逆元。
∵(a*b) *(b^-1^ *a^-1^)=a* (b*b^-1^) *a^-1^=a*e*a^-1^=e
∴b^-1^ *a^-1^是a*b的右逆元，
又∵（b^-1^ *a^-1^）*（a *b）=b^-1^ *（a^-1^ *a）*b＝e
∴b^-1^ *a^-1^是a*b的左逆元，
∴(a*b)^-1^=b^-1^ *a^-1^
证明是半群或独异点
按定义证明
群和子群
群
定义
运算封闭
可结合
存在幺元e
对于每一个元素(xin G)，存在逆元$x^{-1}
阶数、有限群、无限群
如果(<G,*>)为群且元素有限，则称为有限群，元素个数称为群的阶数，否则称为无限群
1阶、2阶、3阶、4阶群
1~4阶都有循环群，可以用mod运算推
4阶还有克莱因四元群，如下
| * | e | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c |
| a | a | e | c | b |
| b | b | c | e | a |
| c | c | b | a | e |
特性
阶大于1的群中不可能有零元
证：
（1）当群的阶为1时，它的唯一元素视作幺元e；
（2）设|G|>1且群<G, *>中有零元q，那么群中
∀x∈G，*都有q*x=x*q=q ≠ e
所以零元q不存在逆元，这与<G, *>是群矛盾。
$forall a,bin G, exists (唯一的)x, a*x=b$
证：
（1）存在性
设群<G, *>的单位元为e，令x=a^-1^ *b， 则
a*x＝a*(a^-1^ *b)＝(a*a^-1^) *b＝e*b=b
所以x＝a^-1^ *b是方程a*x＝b的解。
（2）唯一性
若还有x′∈G， 使得a*x′=b， 则
x′=e*x′
=(a^-1^ *a)*x′=a^-1^ *(a*x′)=a^-1^ *b=x
故x＝a^-1^ *b是方程a*x＝b的唯一解。
满足消去律
证：
a*b＝a*c
$Rightarrow $ a^-1^ *(a*b)＝a^-1^ *(a*c)
$Rightarrow $ (a^-1^ *a) *b＝(a^-1^ *a)*c
$Rightarrow $ e*b＝e*c
$Rightarrow $ b＝c
幂特性
除了幺元外，不存在其他等幂元
关于逆元,群中任一元素逆元唯一，且有：
((a^{-1})^{-1}=a)
((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1})
((a^{n})^{-1}=(a^{-1})^n=a^{-n})
证：
已学定理5-2.4：设代数系统<A, *> ， A中存在幺元e，且$forall $x∈A，都存在左逆元，若*是可结合的运算，那么<A, *> 中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元唯一。
证明：
∵群满足结合律，且群中每个元素都有逆元，
∴每个元素都有左逆元，
∴每个元素的逆元唯一。
运算表特性
每一行与每一列都是G元素的一个置换，没有相同元素
运算表中任意两行或者两列都不相同
运算
AB={ab|a∈A,b∈B}
A^-1^={a^-1^|a∈A}
gA={ga|a∈A}
子群
记为H(leq)G，真子群记为H<G
定义
为一个群的非空子集
也为群
判定条件
非空(Ssubseteq G)，且S也是群
非空(Ssubseteq G)，G为有限群，S中运算封闭
非空(Ssubseteq G)，有(a*b^{-1}in S)
性质
若<H, *>和<K, *>为<G, *>子群，则
<H(cap)K, *>也是子群
<H(cup)K, *>是子群 当且仅当 H(subseteq)K或K(subseteq)H
HK是子群 当且仅当 HK=KH
平凡子群
(S={e}quad ORquad S=G)
中心
对于(C={y|y*a=a*y,yin G})，则<C, *>为子群，称为G的中心
共轭子群
若H为G子群，则xHx^-1^={x*h*x^-1^|h ∈H}也是G的子群，称xHx^-1^是H的共轭子群
阿贝尔群和循环群
阿贝尔群 / 交换群
定义
是群
(*)可交换
判定
是群，且(forall a,bin G, (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b))
证：
充分性 即证a*b=b*a。
∵ (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 且<G,*>是群，*可结合
∴ a*(b*a)*b=a*(a*b)*b
∴ a^-1^ *(a*(a*b)*b)*b^-1^=a^-1^ *(a*(b*a)*b)*b^-1^
即有：a*b=b*a， ∴ <G,*>是阿贝尔群。
必要性 ∵ <G,*>是阿贝尔群，
∴对∀a,b∈G，有：a*b=b*a
∴ (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)
循环群
定义
(exists ain G, forall bin G)，b都能表示成a的幂，a称为生成元
特性
是阿贝尔群
如果是有限群，阶数为n，则
幺元为a^n^
有(psi(n))个生成元,（欧拉函数，表示小于n且与n互质的正整数个数）
G的其他生成元即(a^k)，k与n互质
若阶数无限，则只有两个生成元e和e^-1^
元素的阶
定义
最小正整数k使某一元素(a^k=e)，则k为a的阶（周期）
性质
a^k^=e (iff) r | k
（k是r的整数倍，即存在整数m，使得k=rm ）
证：
充分性：r | k (Rightarrow) a^k^=e
设 r | k，则存在整数m，使得k=rm，
a^k^= a^rm^=(a^r^)^m^=e^m^=e
必要性：a^k^=e (Rightarrow) r | k
若a^k^=e，由带余除法，一定存在整数p,q，使得
k=pr+q(0≤q<r)，于是a^k^=a^pr+q^=a^pr^ *a^q^=(a^r^)^p^ *a^q^ =(e)^p^ *a^q^ =e*a^q^ =a^q^ =e （a^k^=e）
∵ r是a的阶,即使得a^r^=e的最小正整数
∴只有q=0才可能有a^q^ =e， ∴ k=pr 即r | k。
O(a)= O(a^-1^)（元素与其逆元的阶相同）
证：
O(a)= O(a^-1^)（元素与其逆元的阶相同）
证：∀a∈G，a的阶为r, a^-1^的阶为r’,
则 (a^-1^)^r’^=e ，a^r^=e
∵ (a^r^)^-1^ *a^r^=e 且a^r^=e，
∴ (a^r^)^-1^=e（ (a^r^)^-1^与e做运算=e，则(a^r^)^-1^必=e）
由红色部分可得(a^r^)^-1^=(a^-1^)^r’^=e－－－－－①
∵ <G,*>是群，即(a^n^)^-1^=(a^-1^)^n^成立，则
(a^r^)^-1^=(a^-1^)^r^ 成立－－－－－②
由①②可得，(a^-1^)^r^ =(a^-1^)^r’^=e
∵ 已知r’是a^-1^的阶，即r’是使得(a^-1^)^k^ =e的最小正整数，
∴ r=mr’（m为正整数),即r’|r。 (定理中的(1)刚证明过)
同理可证r|r’。
(a^-1^)^r’^= (a^r’^)^-1^=e
∵ (a^r’^)^-1^ * a^r’^=e
∴ a^r’^=e
∵ 已知r是a的阶，即r是使得(a)^r^ =e的最小正整数，
∴ r’=mr (m为正整数),即r|r’ .由r’|r与 r|r’即可证得r=r’。
r ≤ |G|（元素的阶一定小于等于群的阶）
证：
一个元素a, a的阶是r,且r>|G|,则由a可生成一个集合S={a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^}，因为运算*封闭，所以S⊆G, 则S的元素个数小于|G|.
然后证明a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^各不相同。
若不然，假设S中存在两个元素相同：
a^i^=a^j^,其中1≤i<j≤r，就有e=a^j-i^ (1≤ j-i<r,a^i^=a^j^右侧同*a-i)，而已知r是使得a^r^=e的最小整数。
a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^都各不相同，即集合S的元素个数大于|G|，与S⊆G矛盾。综上，r≤|G|
子群性质
循环群的子群也是循环群
循环群是无限阶的，则其子群除了{e}也是无限阶的
循环群是n阶的，对于每个n的因子，有且只有一个循环子群
置换群和伯恩赛德定理
置换
成立条件
对于非空集合S，(Sightarrow S)的双射称为S的置换
运算
先运用(pi_2)，再运用(pi_1)
左复合 $circ (：)pi_1circpi_2$
右复合 $diamond (：)pi_2diamondpi_1$
置换群
定义
具有n个元素的集合S中所有的置换组成的群(<S_n,circ>)，其中元素个数有 n! 个
任意(<S_n,circ>)的子群都是S上的置换群
对称群
(S_n)称为S的对称群
交错群
(S_n)中所有偶置换组成的群，记为(A_n)，(|A_n|=n!/2)
轮换
定义
设s是S={1,2,…,n}上的n元置换，且：
[s(i_1)=i_2, s(i_2)=i_3, …, s(i_k-1)=i_k, s(i_k)=i_1
]且(forall xin S, x
e i_j (j=1,2,…,k))，有 s(x)=x（即s 不改变其余元素），称s是S上的一个k阶轮换, 当k=2, s也称为对换。
记法
((i_1,i_2,…,i_k))
对换
定义
k=2时
性质
任意轮换可以写成对换的乘积。即
(a1 a2…ar)＝(a1 ar)(a1 ar-１)…(a1 a3)(a1 a2)
诱导的二元关系
定义
设(<G,circ>)为S的一个置换群，则其诱导的二元关系有
[R={<a,b>|pi(a)=b, piin G}
]
性质
是一个等价关系（条件：自反性、对称性、传递性）
三元素集的置换群
对称群
S~3~={ (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }
交错群
A~3~={ (1), (1 2 3), (1 3 2) }
伯恩赛德定理
(pi)是划分S的置换群的一个置换，(phi(pi))指置换中不变元个数
[等价类数目=frac{1}{|G|}sum_{piin G}phi(pi)
]
陪集和拉格朗日定理
陪集
定义
设H是G的子群，(ain G)，则
aH={a*h|h∈H} H关于a的左陪集
Ha={h*a|h∈H} H关于a的右陪集a称为陪集的代表元素
性质
元素(Rightarrow)陪集
陪集元素个数相等，(forall ain G)，|aH|=|H|
a∈H$iff $aH=H，Ha=H
a∈aH
b∈aH $iff $ bH=aH
陪集与陪集
aH和bH关系只有两种
aH∩bH=(varnothing)（Ha∩Hb=(varnothing)）
aH=bH（Ha=Hb）
陪集(Rightarrow)元素，a/b属于同一陪集
aRb (iff) a^-1^ *b∈H (iff) b∈aH (iff) aH=bH
所有左陪集的集合∑刚好是G的一个划分
特殊关系
划分
每个元素非空。不存在空块
所有元素并集为G
任两个元素交集为空
等价关系
关系R满足自反、对称、传递
若<x,y>(in)R，称x等价于y，记作x~y
等价类
有等价关系的元素组成的一个集合，记为[a]~R~
a称为[a]~R~的代表元素
商集 A/R
以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集
子群的指数
G对H的陪集的集合的基数，即陪集的数目，记为[G:H ]
拉格朗日定理
H为G的子群，则：
R={<a,b>|a∈G,b∈G且a^-1^ *b∈H}是G上的一个等价关系。对于a∈G，若记[a]~R~={x|x∈G且<a,x>∈R}，则[a]~R~=aH
如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，则m|n。
推论
素数阶群的子群一定是平凡群。（素数阶的群不存在非平凡子群）
设<G,*>是n阶群，则对任意a∈G，有a^n^=e
有限群中，元素的阶能整除群的阶
素数阶群一定是循环群，且每个非幺元均为生成元
正规子群和商群
正规子群 / 不变子群
定义
H(leq)G，(forall gin G)，gH=Hg，记为H(unlhd)G
判别
(forall ain G)，
aH=Ha，（即H(unlhd)G）
(forall hin H)，aha^-1^(in)H
aHa^-1^(subseteq)H
aHa^-1^=H
如果G是交换群，则G的任何子群都是正规子群
[G:H]=2 ， 则H是G的正规子群
单群
G除了平凡子群外无其他正规子群
性质
正规子群与子群的乘积是子群
正规子群与正规子群的乘积是正规子群
无传递性
商群
运算
在G/H上定义陪集乘法运算∙，对于任意aH,bH∈G/H, 有
[aH·bH=(ab)H
]
定义
设G为群，H为正规子群，则G/H关于运算∙构成一个群，称为G的商群
性质
商群G/H的单位元是eH（=H）
在G/H中aH的逆元是a^-1^H
推论
若G是交换群，G/H也是交换群
商群的阶是G阶数的因子
同态与同构
同态映射 / 同态 ~
定义
<A,(star)>与<B,*>满足(f(a_1star a_2)=f(a_1)*f(a_2))
称 f 为同态映射 / 同态，<A,(star)>同态于<B,*>
记为 A~B
同态象
<f(A), *>为<A,(star)>的一个同态象
自然同态
群G到商群G/H的同态，为 a(ightarrow)aH
分类
f:A(ightarrow)B 为满射，f 称为满同态
f:A(ightarrow)B 为入射，f 称为单一同态
f:A(ightarrow)B 为双射，f 称为同构映射
同构
f 为同构映射时，称<A,(star)>与<B,*>同构，记为A(cong)B
同构关系是等价关系
凯莱定理
任何一个有限群同构于一个置换群。
置换群即运算表中所有行 OR 所有列。
自同态 / 自同构
自身到自身的映射
同态映射性质
在 f 作用下
<A, $star $>的所有性质在同态象上保留
若同构，则<B, *>拥有<A, $star $>的所有性质
同态核
定义
A中元素映射 f 后为幺元。记为 Ker(f)，称为 f 的同态核
Ker(f) = {x|x∈G且f(x)=e’}
性质
同态核N为A的正规子群
f 为单同态 (iff) Ker(f)={e}
若Ker(f)=N ，则 f(a)=f(b) (iff) aN=bN
同态基本定理
若 f 为A到B的满同态，Ker(f)=N，则A/N(cong)B
若h为A自然同态，存在A/N到B的同构g，有f=gh
第一同构定理 / 商群同构定理
若 f 为A到B的满同态，Ker(f)=N，H(unlhd)A 且 N(subseteq)H
则 A/H (cong) B/f(H)
若 H(unlhd)A 且 K(unlhd)A 且 K(subseteq)H
则 A/H (cong) (A/K) / (H/K)
环与域
定义
对于<A, +, ·>有两种二元运算的代数系统
<A, +>是阿贝尔群
<A, ·>是半群
运算 · 对于 + 是可分配的，即(forall a,b,cin A)：
a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
(b+c)·a=(b·a)+(c·a)
为了区别环中的两个运算，通常称＋运算为环中的加法，·运算为环中的乘法。
零元
加法单位元，记为0(( heta))
单位元
乘法单位元，记为1
负元
加法逆元，记为-x
逆元
乘法逆元，记为x^-1^
例子
<R,＋,·> 实数环
<Q,＋,·> 有理数环
<I,＋,·> 整数环
<M~n~(I),＋, ·> n阶整数矩阵环
<N~k~ , ＋~k~ , ×~k~> 模k整数环
<Z[i], ＋, ·>(Z[i]=a+bi,a,b(in)Z,i^2^=-1) 高斯整数环 (复数)
<R[x] ,＋, ·> R[x]为实数多项式
性质
与理解的加法乘法相同，消去律不一定
a·( heta)=( heta)·a=( heta)
a·(–b)=(–a)·b = –(a·b)
(–a)·(–b)=a·b
a·(b–c)=(a·b)–(a·c)
(b–c)·a=(b·a)– (c·a)
特殊环
交换环
<A, · >可交换
含幺环
<A, · >含幺元
无零因子环
（等价于乘法消去律）
(forall a,bin A, a
eq heta, b
eq heta)，则必有(a·b
eq heta)
零因子
若(a,bin A, a
eq heta, b
eq heta)，有(a·b= heta)，则a或b为零因子
整环
定义
（基于乘法运算的性质）
交换、无零因子 OR 含幺、无零因子
即同时满足交换环、含幺环和无零因子环的条件
子环
定义
环的子集，也是环
判定定理
(forall a,bin S,a-bin S,a·bin S)
域
定义
满足如下：
<A, +>是阿贝尔群
<A – {( heta)}, ·>是阿贝尔群
运算 · 对运算＋是可分配的
例子
实数域
有理数域
〈Z~n~,+~n~, · ~n~ 〉是域的充要条件是n是素数
域与整环的关系
域一定是整环
有限整环一定是域
环的同态定义
设V~1~=<A,*,∘>和V~2~=<B,⊛,◎>是两环，其中*、∘、⊛和◎都是二元运算。f 是从A到B的一个映射，使得对(forall)a, b(in)A有：
f(a*b)=f(a)⊛f(b)
f(a∘b)=f(a)◎f(b)
则称f是环V1到环V2的同态映射
分类
如果f是单射、满射和双射，分别称f是单同态、满同态和同构
同态像及其特性
<f(A),⊛,◎>是<A,*,∘>的同态像。
任何环的同态像是环
综合例题
设<R,+, · >是环，其乘法单位元记为1，加法单位元记为0，对于任意a,b(in)R,定义
a⊕b=a+b+1,a⊙b=a·b+a+b。求证： <R, ⊕, ⊙ >也是含幺环，并与<R,+, · >同构。
证明：
首先证明<R, ⊕, ⊙ >是环。
（1） <R, ⊕ >是阿贝尔群。
（2） <R, ⊙ >是含幺半群。
（3） ⊙对⊕可分配，再证明同构。
（4）构造双射f: f(a)=a-1,验证同构性。
（1） <R, ⊕ >是阿贝尔群。
显然R关于⊕是封闭的且⊕运算是可交换的。
结合性：对于任意的x,y,z(in)R,有
(x⊕y)⊕z=(x+y+1)⊕z=x+y+z+2,而
x⊕(y⊕z )= x⊕ (y+z+1)=x+y+z+2, 即⊕运算满足结合律。
幺元：对于任意x(in)R， x⊕-1= x+(-1)+1=x,-1是R关于⊕运算的幺元。
逆元：对于任意x(in)R， x⊕（-x-2)= x+(-x-2)+1=-1, +(-x-2)是x关于⊕运算的逆元。
所以<R, ⊕ >是阿贝尔群。
（2） <R, ⊙ >是含幺半群。
显然R关于⊙是封闭的、可交换的。
结合性：对于任意的x,y,z ÎR,有
(x ⊙ y) ⊙ z=(xy+x+y) ⊙ z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z,而
x ⊙(y ⊙ z )= x ⊙ (yz+y+z)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z, 即⊙运算满足结合律。
幺元：对于任意xÎR， x ⊙ 0=0+ x+0=x，0是R关于⊙运算的幺元。
所以<R, ⊙ >是含幺半群.
（3） ⊙对⊕可分配
对于任意的x,y,z(in)R,有
x⊙(y⊕z )= x⊙(y+z+1)=xy+xz+x+x+y+z+1=xy+xz+2x+y+z+1
(x⊙y)⊕(x⊙z)=(xy+x+y)⊕(xz+x+z)=xy+xz+2x+y+z+1
同理可以证明右可分配性。
综上所述， <R, ⊕, ⊙ >也是含幺环
再证明同构。
构造双射f: f(a)=a-1,验证同构性。
（4）证明同构。构造函数f: f(x)=x-1
双射：对于任意x(in)R,则有x+1(in)R，使得f(x+1)=x，所以f是满射
x，y(in)R,若f(x)=f(y),则有x-1=y-1,即x=y,所以f是单射。
同态： f(x+y)=x+y-1
f(x)⊕f(y)=(x-1)⊕(y-1)=x-1+y-1+1=x+y-1
所以f(x+y)= f(x)⊕f(y)
又因为 f(x·y)=x·y-1
f(x)⊙f(y)=(x-1) ⊙(y-1)=(x-1)· (y-1)+x-1+y-1
=x·y-x-y+1+x-1+y-1=x·y-1
所以f(x·y)= f(x)⊙f(y)
综上，<R, ⊕, ⊙ >与<R,+, ∘ >同构。
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