20-克拉默法则、逆矩阵、体积

一、二阶矩阵的逆矩阵

　$A^{-1}$的公式：$left[egin{array}{ll}{a} & {b} \ {c} & {d}end{array}ight]^{-1}=frac{1}{a d-b c}left[egin{array}{rr}{d} & {-b} \ {-c} & {a}end{array}ight]$

　在上面的例子中，我们知道$frac{1}{a d-b c}$其实就是$frac{1}{det A}$，而$left[egin{array}{rr}{d} & {-b} \ {-c} & {a}end{array}ight]$正好是每个元素的代数余子式组成的矩阵，然后进行了转置，事实上对于$n*n$矩阵：

$A^{-1}=frac{1}{operatorname{det} A} C^{T}$

其中$C$是代数余子式矩阵（注意到转置符号），$A$第一行的代数余子式，对应$A^{-1}$中的第一列

　通过上面的公式计算逆矩阵，$A$的行列式需要将$n$项和对应的$n-1$矩阵对应的代数余子式相乘，相比这种方法，使用高斯-约尔当消元法求的逆矩阵更为简单。

二、证明上面的逆矩阵计算公式

　我们只需要验证$AC^T=(det A)I$即可

　$A C^{T}=left[egin{array}{ccc}{a_{11}} & {cdots} & {a_{1 n}} \ {vdots} & {ddots} & {vdots} \ {a_{n 1}} & {cdots} & {a_{n n}}end{array}ight]left[egin{array}{ccc}{C_{11}} & {cdots} & {C_{n 1}} \ {vdots} & {ddots} & {vdots} \ {C_{1 n}} & {cdots} & {C_{n n}}end{array}ight]$

　通过乘法得到的矩阵的第一行第一列的元素是：

$sum_{j=1}^{n} a_{1 j} C_{j 1}=operatorname{det} A$

　$AC^T$对角线上的每个元素都是上面计算得到的结果。现在我们需要验证$AC^T$对角线以外的元素都是0

　在二乘二的矩阵中，$A$的第一行乘$C^T$的第二列：$a(-b) + b(-a) = 0$，在高维矩阵中，$A$的第一行与$C^T$第二列的乘积可以看作是第一行第二行相同的矩阵（奇异矩阵）的行列式，故乘积为零。（比较绕口：根据行列式计算方法-某行元素分别与各自代数余子式相乘，然后加和。那么我们想象一下：$A$的第一行与$C^T$第二列的乘积可以看作是哪个矩阵的行列式呢？这个矩阵就是第一行和第二行相同的矩阵，其行列式为零）对于$AC^T$对角线以外的其他元素，道理相似，均为0，所以上面的计算逆矩阵公式得以验证

　通过上面的逆矩阵计算式子，可以了解当矩阵变化时，逆矩阵会如何变化

三、克拉默法则（关于$x=A^{-1}b$）

　如果$A$是非奇异矩阵时，如果$Ax=b$，则$x=A^{-1}b$，结合$A^{-1}=frac{1}{operatorname{det} A} C^{T}$，则

$x=frac{1}{operatorname{det} A} C^{T}b$

　克拉默（Crammer’s rule）法则提供了一种分解上述等式的方式。为了得到克拉默法则，将$x$的每个部分进行单独分析，因为$C^Tb$的第$i$部分是一组代数余子式和数字乘积之和，也可以看作是矩阵$B_j$的行列式，则有：

$x_{j}=frac{operatorname{det} B_{j}}{operatorname{det} A}$

　$B_j$是矩阵$A$中的第$j$列替换为$b$得到的：