点差法

结论

已知椭圆 (dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)) ，若直线 (l) 与椭圆相交于 (A,B) 两点，(M) 为 (AB) 中点，则 (k_{OM}k_{AB}=-dfrac{b^2}{a^2}) .

证明

设 (A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)) 代入椭圆方程得

[egin{cases}dfrac{x_1^2}{a^2}+dfrac{y_1^2}{b^2}=1 \[1ex] dfrac{x_2^2} {a^2}+dfrac{y_2^2}{b^2}=1end{cases}
]

两式相减得

[dfrac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+dfrac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0Longrightarrowdfrac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}=-dfrac{b^2}{a^2}
]

因为 (M) 为 (AB) 的中点，所以

[k_{OM}=dfrac{dfrac{y_1+y_2}{2}-0}{dfrac{x_1+x_2}{2}-0}=dfrac{y_1+y_2}{x_1+x_2}
]

所以 (k_{OM}k_{AB}=-dfrac{b^2}{a^2}) .

推论

如图，若点 (A) 关于原点对称的点为 (A^{’}) ，由三角形中位线定理得 (OM//BA^{‘}) ，所以

[k_{BA}k_{BA^{‘}}=-dfrac{b^2}{a^2}
]