前言
综合法和分析法都属于直接证明的方法,反证法属于间接证明方法;
综合法
又称为“由因导果”法,综合法中常用的公式
(a^2+b^2ge 2ab),
(a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca);
((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca);
综合法中常用的结论参阅轮换对称式
① (a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca);
②已知(a,b,c>0),且(a+b+c=1),
则有(a^2+b^2+c^2ge cfrac{1}{3}),(ab+bc+caleq cfrac{1}{3});(cfrac{a^2}{b}+cfrac{b^2}{c}+cfrac{c^2}{a}ge 1)
分析法
又称为“执果索因”法,分析法的书写格式:
例题【2018济宁二模】已知(a>0),求证:(sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}-sqrt{2}ge a+cfrac{1}{a}-2)。
证明:用分析法,
要证(sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}-sqrt{2}ge a+cfrac{1}{a}-2),
只要证(sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}+2ge a+cfrac{1}{a}+sqrt{2}),
由于(a>0),故只要证((sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}+2)^2ge (a+cfrac{1}{a}+sqrt{2})^2),
即(a^2+cfrac{1}{a^2}+4sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}+4ge a^2+2+cfrac{1}{a^2}+2sqrt{2}(a+cfrac{1}{a})+2),
从而只要证(2sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}ge sqrt{2}(a+cfrac{1}{a})),
只要证(4(a^2+cfrac{1}{a^2})ge 2(a^2+2+cfrac{1}{a^2})),
即只要证(a^2+cfrac{1}{a^2}ge 2),
而上述不等式显然成立,
故原不等式成立。
注意上述的书写格式,是分析法独有的,不能省略,否则逻辑关系就出现错误了。
只需要将上述的书写过程倒过来,就是综合法。
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