这一篇文章开始讨论有关二项式系数的一系列问题。

  基本恒等式：

  所谓二项式系数，其实就是我们表示组合情况用到的符号：C(n,k)，n称其上指标，k为下指标。而之所以将其称为二项式系数，是因为它和后面的二项式定理有着紧密的联系。

  一般展开式：

  我们先从C(n,k)的内涵出发，众所周知，它表示从n个元素取出k个元素的情况数。通过其表征的组合含义，我们来寻求它的计算公式。

  我们按照顺序取出k个元素，由基本的组合原理，有n*(n-1)*(n-1)……3*2*1种情况，由于这个过程我们外加了”一定顺序“这个条件，因此在所有情况的基础上应该除以k的阶乘，用以消除这种顺序，即C(n,k) = n*(n-1)*(n-2)*……*3*2*1  /  k!  ①

  

  阶乘展开式：

  结合一些代数技巧，我们可以将其写成阶乘的形式，C(n,k) = n! / k! * (n-k)! ②

  进一步来看，我们如果把②右式提出一个n/k，会发现(n-1)!/(k-1)! * [(n-1) – (k-1)]!可以转化成另外一个二项式系数C(n-1,k-1),即有如下的恒等式成立。

  吸收/提取恒等式：

  C(n,k) = n/k*C(n-1,k-1)  ③

  基于恒等式③，我们来证明这样一个下标不变的另一个恒等式：(n-k)C(n,k) = nC(n-1,k) ④

  在证明④之前，我们需要知道的是，二项式系数存在“对称性”。

  对称恒等式：

  即C(n,k) = C(n,n-k)  ⑤

  这很好理解，从组合意义的角度来看，对于C(n,k)种取k个元素的情况，都一一对应这剩下的n-k个元素，因此情况数是相同的。

  那么我们开始④证明：(n-k)C(n,k) = (n-k)C(n,n-k)  

                                                =nC(n-1,n-k-1)

                                                =nC(n-1,k)

  

  加法/归纳恒等式：

  其实研究而二项式系数是离不开杨辉三角的，通过观察我们会很容易发现它的一条性质，每个数字等于它“肩膀”上的两个数字之和，即用数学语言表达，有恒等式C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)  ⑥

  通过组合意义我们会非常好理解这条恒等式为什么成立，假设我们想知道从n个鸡蛋中拿出k个鸡蛋的方法数，n个鸡蛋中有1个坏鸡蛋，那么所有方法数可以分成如下两种情况：

  该方法中没有拿这个坏鸡蛋，则有C(n-1,k)种情况。

  该方法中拿了这个坏鸡蛋，则有C(n-1,k-1)种情况。

  故有恒等式⑥成立。本质上讲，这个恒等式给出了生成杨辉三角各个数字的递推关系。

  那么现在利用这个恒等式，我们将C(r+n+1,n)展开。

  即有C(r+n+1,n) = C(r+n,n)+C(r+n,n-1)

                          =C(r+n,n) +C(r+n-1,n-1) + C(r+n-1,n-2)

                          =……

                          =C(r+n,n) + ……+C(r+1,1) + C(r,0)

                          =∑C(r+k,k),k ∈[1,n]     ⑦

  我们不难看出这个过程中的模式，即利用加法恒等式展开的过程中，利用加法恒等式先展开下指标较小的项。那么下面我们反过来，从下指标较大的开始。

  上指标求和恒等式：

  C(n+1,m+1) = C(n,m+1) + C(n,m)

                      =C(n-1,m+1)+C(n-1,m)+C(n,m)

                      =……

                      =C(0,m) + C(1,m) + C(2,m) + ……C(n,m)

                     = ∑C(k,m),k∈[0,n]          ⑧

  上指标反转恒等式：

  我们考察C(n,k) = n(n-1)…(n-k+1) / k!，我们来将分子做一个有意思的变换，n(n-1)…(n-k+1) = (-1)^k*(k-n-1)(k-n-2)…(1-n)(-n) = (-1)^k*C(k-n-1,k),由此我们即可得出如下的恒等式。

  C(n,k) = C(k-n-1,k) * (-1)^k  ⑨

  为了验证这个恒等式的正确性，我们对C(n,k)进行一次上指标反转，即C(n,k) = C(k-n-1,k)* (-1)^k 。

  我们继续对右式进行一次上指标反转，有C(k-n-1,k)* (-1)^k = C(k-(k-n-1)-1,k) * (-1)^2k = C(n,k)。可以看到，对C(n,k)进行两次上指标反转的转换，结果变成了C(n,k)本身，这足以作证恒等式本身逻辑的自洽性。

  那么我们基于这个恒等式进行更进一步的推导。

  对于(-1)^m * C(-n-1,m) , 我们进行上指标反转(自右向左)，有(-1)^m * C(-n-1,m) = C(m+n,n)。

  对于(-1)^n * C(-m-1,n)  , 我们进行上指标反转(自右向左)，有(-1)^n * C(-m-1,n) = C(m+n,n).

  所以有恒等式(-1)^m * C(-n-1,m) = (-1)^n * C(-m-1,n)成立。     ⑩

  如果结合恒等式⑦，我们还可以化简带有∑和(-1)^k的二项式系数。

  ∑C(r,k) * (-1)^k = ∑C(k-r-1,k) = C(n-r,n) = (-1)^n * C(r-1,n) , k<= n。

  即∑C(r,k) * (-1)^k = (-1)^n * C(r-1,n) , k<= n。

  三项式版恒等式：

  C(n,m) * C(m,k) = C(n,k) *C(n-k,m-k)                                   ⑪

  证明：C(n,m) * C(m,k) = n!/(n-m)!*m!   *   m!/(m-k)!*k!            1.

                                    = n! / (n-m)! * (m-k)! * k!                       2.

                                    = n!/(n-k)!*k!     *  (n-k)!/(n-m)!*(m-k)!  3.

                                    =C(n,k)  *   C(n,k,m-k)                            4.

  证毕。

  二项式定理：

  (x+y)^n = ∑C(n,a)x^a * y^(n-1) , a∈[0,n]。      

  定理的正确性可依然从其组合意义来理解。

  我们考察C(n,a) = n!/(n-a)! * a! ， 则我们可以将C(a+b,a)写成(a+b)! / a!b!,则我们可以把二项式定理改成如下更漂亮的形式。

  (x+y)^n = ∑(a+b)! / a!b! x^a * y^b , a∈[0,n],a+b = n.          ⑫

  三项式定理：

  (x+y+z)^n = ∑C(a+b+c,b+c) * C(b+c,c) x^a * y^b * z^c ，  a∈[0,n]，a+b+c = n.      

  我们采取类似处理二项式系数的方法，有C(a+b+c , b+c) * C(b+c,c) = (a+b+c)!/a!b!c!.

  即有(x+y+z)^n = ∑(a+b+c)!/a!b!c! * x^a * y^b * z^c , a∈[0,n] , a+b+c = n。

  由此我们可以做出推广，对于(x1+x2+x3…+xm)^n，我们利用这种处理系数的方法，可以归纳出一般的规律。

  我们记C(a+b+c,a,b,c)表示将a+b+c个元素分成各含有a、b、c元素的方法数。

  多项式系数：

  C(x1+x2+…+xm,x1,x2,…,xm) = (x1+x2+x3…xm)/x1!x2!x3!…xm!

  范德蒙德卷积公式：

  ∑C(r,k)*C(s,n-k) = C(r+s,n)     k∈[0,n]  

  我们从一个组合解释来理解这个恒等式，假设我们想要从r个男人和s个女人的人群中选n个人，一方面，我们可以用C(r+s,n)来表示这个过程的方法数。我们还可以从另一个角度来看，我们先从r个男人中选取k个，随后从s个女人中选取n-k个人，利用分步乘法定理，我们可以用∑C(r,k)*C(s,n-k)来表示。