激活函数(ReLU, Swish, Maxout)

神经网络中使用激活函数来加入非线性因素，提高模型的表达能力。

ReLU(Rectified Linear Unit,修正线性单元)

形式如下:

[egin{equation}
f(x)=
egin{cases}
0, & {xleq 0} \\
x, & {xgt 0}
end{cases}
end{equation}
]

ReLU公式近似推导::

[egin{align}
f(x) &=sum_{i=1}^{inf}sigma(x-i+0.5) & ext{(stepped sigmoid)} \\
&approxlog(1+e^x) & ext{(softplus function)} \\
&approxmax(0,x+N(0,1)) & ext{(ReL function)} \\
其中sigma(z) &={1over 1+e^{-z}} & ext{(sigmoid)}
end{align}
]

下面解释上述公式中的softplus,Noisy ReLU.

softplus函数与ReLU函数接近,但比较平滑, 同ReLU一样是单边抑制,有宽广的接受域(0,+inf), 但是由于指数运算,对数运算计算量大的原因,而不太被人使用.并且从一些人的使用经验来看(Glorot et al.(2011a)),效果也并不比ReLU好.
softplus的导数恰好是sigmoid函数.softplus 函数图像:

Noisy ReLU^[1]
ReLU可以被扩展以包括高斯噪声(Gaussian noise):
(f(x)=max(0,x+Y), Ysim N(0,sigma(x)))
Noisy ReLU 在受限玻尔兹曼机解决计算机视觉任务中得到应用.

ReLU上界设置: ReLU相比sigmoid和tanh的一个缺点是没有对上界设限.在实际使用中,可以设置一个上限,如ReLU6经验函数: (f(x)=min(6,max(0,x))). 参考这个上限的来源论文: Convolutional Deep Belief Networks on CIFAR-10. A. Krizhevsky

ReLU的稀疏性（摘自这里）：

当前，深度学习一个明确的目标是从数据变量中解离出关键因子。原始数据（以自然数据为主）中通常缠绕着高度密集的特征。然而，如果能够解开特征间缠绕的复杂关系，转换为稀疏特征，那么特征就有了鲁棒性（去掉了无关的噪声）。稀疏特征并不需要网络具有很强的处理线性不可分机制。那么在深度网络中，对非线性的依赖程度就可以缩一缩。一旦神经元与神经元之间改为线性激活，网络的非线性部分仅仅来自于神经元部分选择性激活。
对比大脑工作的95%稀疏性来看，现有的计算神经网络和生物神经网络还是有很大差距的。庆幸的是，ReLu只有负值才会被稀疏掉，即引入的稀疏性是可以训练调节的，是动态变化的。只要进行梯度训练，网络可以向误差减少的方向，自动调控稀疏比率，保证激活链上存在着合理数量的非零值。

ReLU 缺点

坏死: ReLU 强制的稀疏处理会减少模型的有效容量（即特征屏蔽太多，导致模型无法学习到有效特征）。由于ReLU在x < 0时梯度为0，这样就导致负的梯度在这个ReLU被置零，而且这个神经元有可能再也不会被任何数据激活，称为神经元“坏死”。
无负值: ReLU和sigmoid的一个相同点是结果是正值，没有负值.

ReLU变种

Leaky ReLU

当(x<0)时,(f(x)=alpha x),其中(alpha)非常小,这样可以避免在(x<0)时,不能够学习的情况：

[f(x)=max(alpha x,x)
]

称为Parametric Rectifier(PReLU),将 (alpha) 作为可学习的参数.

当 (alpha) 从高斯分布中随机产生时称为Random Rectifier（RReLU）。

当固定为(alpha=0.01)时,是Leaky ReLU。

优点:

不会过拟合(saturate)
计算简单有效
比sigmoid/tanh收敛快

指数线性单元ELU

[egin{equation}
f(x)=
egin{cases}
alpha(e^x-1), & ext{$xleq 0$} \
x, & ext{$xgt 0$}
end{cases}
end{equation}
]

[egin{equation}
f'(x)=
egin{cases}
f(x)+alpha, & ext{$xleq 0$} \
1, & ext{$xgt 0$}
end{cases}
end{equation}
]

exponential linear unit，该激活函数由Djork等人提出,被证实有较高的噪声鲁棒性,同时能够使得使得神经元
的平均激活均值趋近为 0,同时对噪声更具有鲁棒性。由于需要计算指数,计算量较大。
ReLU family:

Leaky ReLU (alpha)是固定的;PReLU的(alpha)不是固定的,通过训练得到;RReLU的(alpha)是从一个高斯分布中随机产生,并且在测试时为固定值，与Noisy ReLU类似（但是区间正好相反）。

ReLU系列对比：

SELU

论文: 自归一化神经网络(Self-Normalizing Neural Networks)中提出只需要把激活函数换成SELU就能使得输入在经过一定层数之后变成固定的分布. 参考对这篇论文的讨论.

SELU是给ELU乘上系数 (lambda), 即 (m{SELU}(x)=lambdacdot m{ELU}(x))

[f(x)=lambda
egin{cases}
alpha(e^x-1) & x le 0 \
x & x>0
end{cases}
]

Swish

paper Searching for Activation functions(Prajit Ramachandran,Google Brain 2017)

[f(x) = x · ext{sigmoid}(βx)
]

β是个常数或可训练的参数.Swish 具备无上界有下界、平滑、非单调的特性。
Swish 在深层模型上的效果优于 ReLU。例如，仅仅使用 Swish 单元替换 ReLU 就能把 Mobile NASNetA 在 ImageNet 上的 top-1 分类准确率提高 0.9%，Inception-ResNet-v 的分类准确率提高 0.6%。

导数:

当β = 0时,Swish变为线性函数(f(x) ={xover 2}).
β → ∞, $ σ(x) = (1 + exp(−x))^{−1} $为0或1. Swish变为ReLU: f(x)=2max(0,x)
所以Swish函数可以看做是介于线性函数与ReLU函数之间的平滑函数.

工程实现:
在TensorFlow框架中只需一行代码: x * tf.sigmoid(beta * x)或tf.nn.swish(x).
在Caffe中使用Scale+Sigmoid+EltWise(PROD)来实现或者合并成一个层. 代码参考.

GELU

GELU（高斯误差线性单元）是一个非初等函数形式的激活函数，是RELU的变种。由16年论文 Gaussian Error Linear Units (GELUs) 提出，随后被GPT-2、BERT、RoBERTa、ALBERT 等NLP模型所采用。论文中不仅提出了GELU的精确形式，还给出了两个初等函数的近似形式。函数曲线如下：

RELU及其变种与Dropout从两个独立的方面来决定网络的输出，有没有什么比较中庸温和的方法把两者合二为一呢？在网络正则化方面，Dropout将神经单元输出随机置0（乘0），Zoneout将RNN的单元随机跳过（乘1）。两者均是将输出乘上了服从伯努利分布（二项分布）的变量m ~ Bernoulli(p)，其中p是指定的确定的参数，表示取1的概率。论文中希望p能够随着输入x的不同而不同，在x较小时以较大概率将其置0。由于神经元的输入通常服从正态分布，尤其是在加入了Batch Normalization的网络中，因此令p等于正态分布的累积分布函数即可满足。正态分布的概率密度函数：(f(x)={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}};e^{-{frac {left(x-mu ight)^{2}}{2sigma ^{2}}}})，累积分布函数：(F(x) = frac{1}{sigmasqrt{2pi}} int_{-infty}^x exp left( -frac{(t – mu)^2}{2sigma^2} ight)\, dt). 正态分布的累积分布函数曲线与sigmoid曲线相似。

假设输入服从标准正态分布：(Xsim mathcal N(0,1))，标准正态分布的累积分布函数习惯上记为(Phi)，(Phi(x)=P(Xle x)).

然而激活函数由于在训练和测试时使用方式完全相同，所以是需要有确定性的输出，这点与Dropout不同（Dropout在测试时并不随机置0）。由于概率分布的数学期望是确定值，因此改为求输出的期望：(E[mx]=xE[m]=xPhi(x))，即对输入乘上伯努利分布的期望值(p=Phi(x))

[egin{align}
Phi(x) =& frac{1}{sqrt{2pi}} int_{-infty}^x expleft(-frac{t^2}{2}ight) \, dt \
=& {1over 2} + frac{1}{sqrt{2pi}} int_0^x expleft(-frac{t^2}{2}ight) \, dt ag{正态分布曲线下面积为1，一半则为0.5} \
=& {1over 2}left(1 + frac{2}{sqrt{pi}} int_0^x expleft(-({tover sqrt 2})^2ight) \, {dtover sqrt 2}ight) \
=& {1over 2}left(1 + frac{2}{sqrt{pi}} int_0^{xoversqrt 2} expleft(-z^2ight) \, dzight) \
=& {1over 2}left(1+m{erf}left({xover sqrt 2}ight)ight)
end{align}
]

其中的变换包含这个等式： ({1over n}int_0^x f(t/n)dt=int_0^{x/n}f(t)dt)，将x看作一个固定值，则不难理解。

在数学中，误差函数（也称之为高斯误差函数）定义如下：

[{operatorname {erf} (x)={frac {1}{sqrt {pi }}}int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,mathrm {d} t={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,mathrm {d} t}
]

erf(x) 与 tanh(x) 比较接近，与 (2left(sigma(x)-frac{1}{2}ight)) 也有相似的曲线，但是相对差别较大一些。在代码实现中可以用近似函数来拟合erf(x)。论文给出的两个近似如下：

[egin{align}
xPhi(x) &approx xsigma(1.702 x) \
xPhi(x) &approx frac{1}{2} x left[1 + anhleft(sqrt{frac{2}{pi}}left(x + 0.044715 x^3ight)ight)ight]
end{align}
]

不过很多框架已经有精确的erf计算函数了，可以直接使用，参考代码如下：

# GPT-2 的 GELU 实现
def gelu(x):
    return 0.5*x*(1+tf.tanh(np.sqrt(2/np.pi)*(x+0.044715*tf.pow(x, 3))))
# BERT 的 GELU 实现
def gelu(input_tensor):
    cdf = 0.5 * (1.0 + tf.erf(input_tensor / tf.sqrt(2.0)))
    return input_tesnsor*cdf

GELU vs Swish

GELU 与 Swish 激活函数（x · σ(βx)）的函数形式和性质非常相像，一个是固定系数 1.702，另一个是可变系数 β（可以是可训练的参数，也可以是通过搜索来确定的常数），两者的实际应用表现也相差不大。

参考：

GELU的两个初等函数近似是怎么来的
 GELU activation
What is GELU activation?

Maxout

论文Maxout Networks(Goodfellow,ICML2013)

Maxout可以看做是在深度学习网络中加入一层激活函数层,包含一个参数k.这一层相比ReLU,sigmoid等,其特殊之处在于增加了k个神经元,然后输出激活值最大的值.

我们常见的隐含层节点输出：

[h_i(x)= ext{sigmoid}(x^TW_{…i}+b_i)
]

而在Maxout网络中，其隐含层节点的输出表达式为：

[h_i(x)=max_{jin[1,k]}z_{ij}
]

其中(z_{ij}=x^TW_{…ij}+b_{ij}, Win R^{d imes m imes k})

以如下最简单的多层感知器(MLP)为例:

图片来源:slides

假设网络第i层有2个神经元x1、x2，第i+1层的神经元个数为1个.原本只有一层参数,将ReLU或sigmoid等激活函数替换掉,引入Maxout,将变成两层参数,参数个数增为k倍.

优点：

Maxout的拟合能力非常强，可以拟合任意的凸函数。
Maxout具有ReLU的所有优点，线性、不饱和性。
同时没有ReLU的一些缺点。如：神经元的死亡。

缺点：
从上面的激活函数公式中可以看出，每个神经元中有两组(w,b)参数，那么参数量就增加了一倍，这就导致了整体参数的数量激增。

Maxout激活函数

与常规激活函数不同的是,它是一个可学习的分段线性函数.

然而任何一个凸函数，都可以由线性分段函数进行逼近近似。其实我们可以把以前所学到的激活函数：ReLU、abs激活函数，看成是分成两段的线性函数，如下示意图所示：

实验结果表明Maxout与Dropout组合使用可以发挥比较好的效果。

那么,前边的两种ReLU便是两种Maxout,函数图像为两条直线的拼接,(f(x)=max(w_1^Tx+b_1,w_2^Tx+b_2)).

sigmoid & tanh

sigmoid/logistic 激活函数:

[sigma(x) ={1over 1+e^{-x}}
]

tanh 函数是sigmoid函数的一种变体，以0点为中心。取值范围为 [-1,1] ，而不是sigmoid函数的 [0,1] 。

[ anh(x) ={e^x-e^{-x}over e^x+e^{-x}}
]

tanh 是对 sigmoid 的平移和收缩: ( anh left( x ight) = 2 cdot sigma left( 2 x ight) – 1).
你可能会想平移使得曲线以0点为中心,那么为什么还要收缩呢? 如果不拉伸或收缩得到 (f(x)={e^x-1over e^x+1}) 不行吗? 我猜想是因为 tanh 更加著名吧。

那么 tanh 这个双曲正切函数与三角函数 tan 之间是什么关系呢?

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sinh 和双曲余弦函数 cosh ，从它们可以导出双曲正切函数 tanh 等，其推导也类似于三角函数的推导。^[2]
根据欧拉公式: (e^{ix} = cos x + icdotsin x) (其中i是虚数(sqrt{-1})) 有^[3],

[e^{-ix} = cos x – icdotsin x \
sin x=(e^{ix} – e^{-ix})/(2i) \
cos x=(e^{ix} + e^{-ix})/2 \
an x= anh(ix)/i \
anh(ix)=i an x
]

hard tanh 限界: g(z) = max(-1, min(1,z))

sigmoid & tanh 函数图像如下:

sigmoid作激活函数的优缺点

历史上很流行(Historically popular since they have nice interpretation as a saturating “firing rate” of a neuron),梯度计算较为方便:

[
ablasigma =
{e^{-x}over(1+e^{-x})^2}=({1+e^{-x}-1over 1+e^{-x}})({1over 1+e^{-x}})=
sigma(x)(1-sigma(x))
]

优势是能够控制数值的幅度,在深层网络中可以保持数据幅度不会出现大的变化;而ReLU不会对数据的幅度做约束.

存在三个问题:

饱和的神经元会"杀死"梯度,指离中心点较远的x处的导数接近于0,停止反向传播的学习过程.
sigmoid的输出不是以0为中心,而是0.5,这样在求权重w的梯度时,梯度总是正或负的.
指数计算耗时

为什么tanh相比sigmoid收敛更快:

梯度消失问题程度
( anh'( x ) = 1- anh( x )^2 in (0,1))
( ext{sigmoid: } s'(x)=s(x) imes(1-s(x))in(0,1/4))
可以看出tanh(x)的梯度消失问题比sigmoid要轻.梯度如果过早消失,收敛速度较慢.
以零为中心的影响
如果当前参数(w0,w1)的最佳优化方向是(+d0, -d1),则根据反向传播计算公式,我们希望 x0 和 x1 符号相反。但是如果上一级神经元采用 Sigmoid 函数作为激活函数，sigmoid不以0为中心，输出值恒为正，那么我们无法进行最快的参数更新，而是走 Z 字形逼近最优解。^[4]

激活函数的作用

加入非线性因素
充分组合特征

下面说明一下为什么有组合特征的作用.

一般函数都可以通过泰勒展开式来近似计算, 如sigmoid激活函数中的指数项可以通过如下的泰勒展开来近似计算:

[e^z=1+{1over 1!}z+{1over 2!}z^2+{1over 3!}z^3+o(z^3)
]

其中有平方项,立方项及更更高项, 而 (z=wx+b), 因此可以看作是输入特征 x 的组合. 以前需要由领域专家知识进行特征组合,现在激活函数能起到一种类似特征组合的作用. (思想来源: 微博@算法组)

为什么ReLU,Maxout等能够提供网络的非线性建模能力？它们看起来是分段线性函数，然而并不满足完整的线性要求：加法f(x+y)=f(x)+f(y)和乘法f(ax)=a×f(x)或者写作(f(alpha x_1+eta x_2)=alpha f(x_1)+eta f(x_2))。非线性意味着得到的输出不可能由输入的线性组合重新得到（重现）。假如网络中不使用非线性激活函数，那么这个网络可以被一个单层感知器代替得到相同的输出，因为线性层加起来后还是线性的，可以被另一个线性函数替代。

梯度消失与梯度爆炸

梯度消失/爆炸原因及解决办法

原因,浅层的梯度计算需要后面各层的权重及激活函数导数的乘积,因此可能出现前层比后层的学习率小(vanishing gradient)或大(exploding)的问题,所以具有不稳定性.那么如何解决呢?

需要考虑几个方面:

权重初始化
使用合适的方式初始化权重, 如ReLU使用MSRA的初始化方式, tanh使用xavier初始化方式.
激活函数选择
激活函数要选择ReLU等梯度累乘稳定的.
学习率
一种训练优化方式是对输入做白化操作(包括正规化和去相关), 目的是可以选择更大的学习率. 现代深度学习网络中常使用Batch Normalization(包括正规化步骤,但不含去相关). (All you need is a good init. If you can’t find the good init, use Batch Normalization.)

由于梯度的公式包含每层激励的导数以及权重的乘积,因此让中间层的乘积约等于1即可.但是sigmoid这种函数的导数值又与权重有关系(最大值1/4,两边对称下降),所以含有sigmoid的神经网络不容易解决,输出层的activation大部分饱和,因此不建议使用sigmoid.
ReLU在自变量大于0时导数为1,小于0时导数为0,因此可以解决上述问题.

梯度爆炸
由于sigmoid,ReLU等函数的梯度都在[0,1]以内，所以不会引发梯度爆炸问题。而梯度爆炸需要采用梯度裁剪、BN、设置较小学习率等方式解决。

激活函数选择

首先尝试ReLU,速度快,但要注意训练的状态.
如果ReLU效果欠佳,尝试Leaky ReLU或Maxout等变种。
尝试tanh正切函数(以零点为中心,零点处梯度为1)
sigmoid/tanh在RNN（LSTM、注意力机制等）结构中有所应用，作为门控或者概率值.
在浅层神经网络中，如不超过4层的，可选择使用多种激励函数，没有太大的影响。

https://en.wikipedia.org/wiki/Rectifier_(neural_networks) ↩︎

https://zh.wikipedia.org/wiki/双曲函数 ↩︎

http://mathforum.org/library/drmath/view/54179.html ↩︎

谈谈激活函数以零为中心的问题 https://liam0205.me/2018/04/17/zero-centered-active-function/ ↩︎

激活函数(ReLU, Swish, Maxout)