更新：25 MAR 2016

一维弦振动方程

方程形式

(large dfrac{partial^2u}{partial t^2}=a^2dfrac{partial^2u}{partial x^2}quad
ormalsize (0<x<l,quad t>0))

其中(a)为正实数。

分离变量

(u(x,t)=X(x)T(t))

(large dfrac{X’’}{X}=dfrac{T’’}{a^2T}=-lambda, quad
ormalsize lambda=eta^2>0)

位移函数通解

(large X(x)=Acoseta x+Bsineta x)

(A, B, eta)由边界条件求出。

相位函数通解

(large T(t)=Ccoseta t+Dsineta t)

(C, D)由利用初始条件对(u(x,t))作Fourier展开求得。

齐次边界条件：两端固定

(large left. uight|_{x=0}=left. uight|_{x=l}=0)

此时由两个边界条件分别可以得到

(large A=0, B
eq 0)

(large eta=dfrac{npi}{l})

一维热传导方程

方程形式

(large dfrac{partial u}{partial t}=a^2dfrac{partial^2u}{partial x^2}quad
ormalsize (0<x<l,quad t>0))

其中(a)为正实数。

分离变量

(u(x,t)=X(x)T(t))

(large dfrac{X’’}{X}=dfrac{T’}{a^2T}=-lambda, quad
ormalsize lambda=eta^2>0)

位移函数通解

(large X(x)=Acoseta x+Bsineta x)

(A, B, eta)由边界条件求出。

相位函数通解

(large T(t)=Ce^{-eta^2 a^2 t})

(C)由初始条件得到。

齐次边界条件：两端固定

(large left. uight|_{x=0}=left. uight|_{x=l}=0)

此时由两个边界条件分别可以得到

(large A=0, B
eq 0)

(large eta=dfrac{npi}{l})

二维Laplace方程·方域

方程形式

(large dfrac{partial^2 u}{partial x^2}+dfrac{partial^2 u}{partial y^2}=0quad
ormalsize (0<x<a,quad 0<y<b))

分离变量

(large u(x,y)=X(x)Y(y))

(large dfrac{X’’}{X}=-dfrac{Y’’}{Y}=lambda)

 

二维Laplace方程·圆域

方程形式

(large dfrac{1}{ho}dfrac{partial}{partial ho}left(hodfrac{partial u}{partial ho}ight)+dfrac{1}{ho^2}dfrac{partial^2 u}{partial heta^2}=0,quad
ormalsize ho<ho_0,quad 0leqslant heta<2pi)

分离变量

(large u(ho, heta)=R(ho)Phi( heta))

(large dfrac{ho^2 R’’+ho R’}{R}=-dfrac{Phi’’}{Phi}=-lambda)

自然边界条件

(large |R(0)|<+infty)

(large Phi( heta+2pi)=Phi)( heta))

注意：第一条在非圆内情况下不适用；第二条在扇形域不适用

角度函数通解

当(lambda=0)

(large Phi_0( heta)=a_0’)

当(lambda=n^2>0, n=1,2,3,…)

(large Phi_n( heta)=a_n’cos n heta+b_n’sin n heta)

此时以及使用了边界的重复性，导致了特征值的分立

径向函数通解

当(lambda=0)

(large R_0(ho)=c_0+d_0lnho)

当(lambda=n^2>0, n=1,2,3,…)

(large R_n(ho)=c_nho^n+d_nho^{-n})

再利用边界条件可以使所有(d_n=0)（注意若不是圆内，例如圆外或环内则不能如此确定)

(large R_n=c_nho^n)

通解

(large u(ho, heta)=dfrac{a_0}{2}+sumlimits_{n=1}^{infty}ho^n(a_ncos n heta+b_nsin n heta))