群

群的性质

旋转矩阵集合与旋转乘法构成群
变换矩阵与矩阵乘法构成群
因此可以称为旋转矩阵群和变换矩阵群
三维旋转矩阵构成了特殊正交群

其他群的例子:

一般线性群GL(n) n*n的可逆矩阵 它们对矩阵乘法构成群
特殊正交群SO(n)
特殊欧式群SE(n)

[SO(3)={Rin R^{3*3}|RR^T=I,det(R)=1}.
]

三维变换矩阵构成了特殊矩阵群

李群与李代数

李群:

具有连续(光滑)性质的群
既是群也是流形
直观上看,一个刚体能连续地在空间中运动,故SO(3)和SE(3)都是李群
但是,SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法,没有加法,所以难以进行取极限求导等操作.

李代数:与李群对应的一种结构,位于向量空间.

通常记作小写的SO(3)和SE(3),书中以哥特体突出显示.
事实上是李群单位元处的正切空间
每个李群都有与之对应的李代数。李代数描述了李群单位元附近的正切空间性质

从旋转矩阵引出李代数

考虑任意旋转矩阵R,满足 (RR^T=I)

令R随时间变换(连续运动),有(R(t){R(t)}^T=I)
量测对时间求导:(hat{R(t)}{R(t)}^T+R(t){hat{R(t)}}^T=0)
整理:(hat{R(t)=Phi(t)^{ imes}R(t)})
两侧右乘R(t):(hat{R(t)=Phi(t)^{ imes}R(t)})
课看成对R求导之后,左侧多出一个(Phi(t))

单位元附近:(t_0=0),(R(0)=I)

[R(t)approx R(t_0)+dot R(t_0)(t-t_0)=I+phi(t_0)^{ imes}(t)
]

已知初始情况：(R(0)=I),解之，得:

[R(t)=exp(phi_0^{ imes}t).
]

该式说明，对任意t，都可以找到一个R和一个(phi)得对应关系
该关系指指数映射（Exponetial Map）
这里得(phi)称为SO（3）对应得李代数：SO(3)

指数映射与对数映射

指数映射反映了从李代数到李群的对应关系：(R=exp(phi^{wedge}))
问题：但是(phi^{wedge})是一个矩阵，对于矩阵，如何定义求指数运算？
(exp(phi^{wedge})=sum^{}_{n=0} frac{1}{n!}(phi^{wedge})^n)

由于(phi)得向量，定义其角度和模长：
角度乘单位向量：(phi= heta a)

[a^{wedge}a^{wedge}=aa^T-I
]

[a^{wedge}a^{wedge}a^{wedge} = -a^{wedge}
]

a的性质化解taylor展示中的高阶项提供了有效方法

Taylor展开：

结果：(exp( heta a^{wedge}) = cos heta I+(1-cos heta)aa^T+sin heta a^{wedge})

这说明SO(3)的物理意义就是旋转向量；
反之，给的旋转矩阵是，亦能求李代数：

[phi = ln(R)^{vee} = (sum^{infty}_{n=0}frac{(-1)^n}{n+1}(R-I)^{n+1})^{vee}
]

但实际中没必要这样求，在旋转向量小姐已经介绍了矩阵到向量的转换关系：
$ heta = arccos(frac{tr(R)-1}{2}) $ (Rn=n)
至此，说明了(SO(3))与(so(3))的对应关系。

求导与扰动模型

SLAM的定位即位姿估计
但李群无加法：(R_1+R_2
otin SO(3))倒数无从定义
解决方法：

利用李代数上加法定义李群元素的导数？
使用指数映射和对数映射完成变换关系
基本问题：当在李代数中做加法时，是否等价于在李群上做乘法？
(exp(phi_1^{wedge})exp(phi_2^{vee})=exp((phi_1+phi_2)^{wedge}))
在使用标量的情况下，该式明显成立，但这里的(phi^{wedge})为矩阵，完整形式由BCH公式给出

BCH公式

前面的几项：

通过 BCH 线性近似，可以定义李代数上的导数
考虑一个基本问题：旋转后的点关于旋转的导数可以不严谨地记为：(frac{partial (Rp)}{partial R})
由于 R 没有加法，导数无从定义，此时存在两种解决办法：
• 对 R 对应的李代数加上小量，求相对于小量的变化率（导数模型）；
• 对 R 左乘或右乘一个小量，求相对于小量的李代数的变化率（扰动模型）。

导数模型

扰动模型

左乘一个小量，令其李代数为0

SE(3)上的扰动模型

小结
• 利用 BCH 线性近似，可以推导 so(3) 与 se(3) 上的导数和扰动模型
• 通常情况下，扰动模型更为简洁实用

实践：Sophus库

#include "sophus/so3.hpp"
#include "sophus/se3.hpp"