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原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式

1. 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]_原 = 0000 0001

[-1]_原 = 1000 0001

由于第一位是符号位，后面是真值，所以原码的表示范围为：[1111 1111 , 0111 1111]即[-127 , 127]，除了第一位表示符号位，其他的就是二进制的表示形式，0的原码表示有两种：00000000（0）与10000000（−0）

2. 反码

反码的表示方法是:正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位（就是第一位）不变，其余各个位取反.

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_{反，所以反码的表示范围为[1000 0000 , 0111 1111]，0的反码（0000 0000）与（1111 1111）（-0），有符号数用反码表示的范围为−(2^N−1−1)到(2^N−1−1)，以及+/−0}

3. 补码

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补

补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0001]_补 + [1111 1111]_补 = [0000 0000]_补=[0000 0000]_原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]_原 + [1111 1111]_原 = [1111 1111]_补 + [1000 0001]_补 = [1000 0000]_补

因此补码的表示范围从[-128,127]

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-2³¹, 2³¹-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

负数取模操作：

x mod y = x – y L x / y J 即x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.根据此定义

以 -3 mod 2 举例:

-3 mod 2

= -3 – 2xL -3/2 J

= -3 – 2xL-1.5J

= -3 – 2x(-2)

= -3 + 4 = 1