平衡二叉树一定是二叉排序树(二叉排序树和平衡二叉树)

平衡二叉树是一种特殊的二叉树，使得每个节点的左右子树高度差不超过1，以达到了平衡的目的。而二叉排序树是一种有序的二叉树，每个节点的左子树所有节点值都小于该节点的值，右子树所有节点值都大于该节点的值。而平衡二叉树与二叉排序树是可以同时满足的，即平衡二叉树一定是二叉排序树。

一、平衡二叉树的定义

平衡二叉树是一种特殊的二叉树，具有以下性质：

根节点的左右子树高度差不超过1；
任意节点的左右子树高度差不超过1；
左右子树都是平衡二叉树。

平衡二叉树的性质使得查找、插入、删除的时间复杂度都能够控制在O(logn)级别，具有很好的效率。

二、二叉排序树的定义

二叉排序树是一种有序的二叉树，具有以下性质：

每个节点的左子树所有节点值都小于该节点的值；
每个节点的右子树所有节点值都大于该节点的值；
左右子树都是二叉排序树。

二叉排序树的性质使得查找、插入、删除的时间复杂度也能够控制在O(logn)级别。

三、平衡二叉树一定是二叉排序树

平衡二叉树具有二叉排序树的性质，因为节点插入时需要满足平衡二叉树的性质，即要保证任意节点的左右子树高度差不超过1，所以在插入节点时需要将其插入到满足二叉排序树性质的位置，并且要保证插入后树的平衡性。因此，平衡二叉树一定是二叉排序树。下面是Java的代码实现：

class AVLTree<T extends Comparable> {
    private static class AVLNode {
        T element;
        AVLNode left;
        AVLNode right;
        int height;
        
        AVLTNode(T element) {
            this(element, null, null);
        }
        
        AVLTNode(T element, AVLNode left, AVLNode right) {
            this.element = element;
            this.left = left;
            this.right = right;
            height = 0;
        }
    }
    
    private AVLNode root;
    
    public AVLTree() {
        root = null;
    }
    
    private int height(AVLNode node) {
        return node == null ? -1 : node.height;
    }
    
    public void insert(T x) {
        root = insert(x, root);
    }
    
    private AVLNode insert(T x, AVLNode node) {
        if (node == null) {
            return new AVLNode(x);
        }
        
        int compareResult = x.compareTo(node.element);
        
        if (compareResult < 0) {
            node.left = insert(x, node.left);
            if (height(node.left) - height(node.right) == 2) {
                if (x.compareTo(node.left.element)  0) {
            node.right = insert(x, node.right);
            if (height(node.right) - height(node.left) == 2) {
                if (x.compareTo(node.right.element) > 0) {
                    node = rotateWithRightChild(node);
                } else {
                    node = doubleWithRightChild(node);
                }
            }
        } else {
            // Duplicate; do nothing
        }
        
        node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
        return node;
    }
    
    private AVLNode rotateWithLeftChild(AVLNode k2) {
        AVLNode k1 = k2.left;
        k2.left = k1.right;
        k1.right = k2;
        k2.height = Math.max(height(k2.left), height(k2.right)) + 1;
        k1.height = Math.max(height(k1.left), k2.height) + 1;
        return k1;
    }
    
    private AVLNode rotateWithRightChild(AVLNode k1) {
        AVLNode k2 = k1.right;
        k1.right = k2.left;
        k2.left = k1;
        k1.height = Math.max(height(k1.left), height(k1.right)) + 1;
        k2.height = Math.max(height(k2.right), k1.height) + 1;
        return k2;
    }
    
    private AVLNode doubleWithLeftChild(AVLNode k3) {
        k3.left = rotateWithRightChild(k3.left);
        return rotateWithLeftChild(k3);
    }
    
    private AVLNode doubleWithRightChild(AVLNode k1) {
        k1.right = rotateWithLeftChild(k1.right);
        return rotateWithRightChild(k1);
    }
}