理解贝叶斯公式：

其中 为完备事件组，即

Think Bayes – 我所理解的贝叶斯定理

解决的问题：由A的先验概率、B的后验概率（也叫条件概率）求A的后验概率。

 

 

#如果 A 和 B 是相互独立的两个事件，那么：

上面的推导过程反过来证明了如果 A 和 B 是相互独立的事件，那么事件 A 发生的概率与 B 无关。

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 下面不加证明地直接给出贝叶斯定理：

      

朴素贝叶斯分类两点假设：

1. 各个特征属性是相互独立的

2.  当特征属性为连续值时，通常假定其值服从高斯分布

模型准确性：参数化方法使类条件概率估计变得相对简单，但是估计结果的准确性严重依赖于所假设的概率分布形式是否符合潜在的真实数据分布。

“极大似然”估计——

1. “似然”：指条件概率

2. “极大似然”估计：指找到所有可取值中“可能性”最大的值

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一、朴素贝叶斯分类的原理与流程

      朴素贝叶斯分类是一种十分简单的分类算法，叫它朴素贝叶斯分类是因为这种方法的思想真的很朴素，朴素贝叶斯的思想基础是这样的：对于给出的待分类项，求解在此项出现的条件下各个类别出现的概率，哪个最大，就认为此待分类项属于哪个类别。通俗来说，就好比这么个道理，你在街上看到一个黑人，我问你你猜这哥们哪里来的，你十有八九猜非洲。为什么呢？因为黑人中非洲人的比率最高，当然人家也可能是美洲人或亚洲人，但在没有其它可用信息下，我们会选择条件概率最大的类别，这就是朴素贝叶斯的思想基础。

      朴素贝叶斯分类的正式定义如下：

      1、设为一个待分类项，而每个a为x的一个特征属性。

      2、有类别集合。

      3、计算。

      4、如果，则。

      那么现在的关键就是如何计算第3步中的各个条件概率。我们可以这么做：

      1、找到一个已知分类的待分类项集合，这个集合叫做训练样本集。

      2、统计得到在各类别下各个特征属性的条件概率估计。即。

      3、如果各个特征属性是条件独立的，则根据贝叶斯定理有如下推导：

      

      因为分母对于所有类别为常数，因为我们只要将分子最大化皆可。又因为各特征属性是条件独立的，所以有：

      

      根据上述分析，朴素贝叶斯分类的流程可以由下图表示（暂时不考虑验证）：

      可以看到，整个朴素贝叶斯分类分为三个阶段：

      第一阶段——准备工作阶段，这个阶段的任务是为朴素贝叶斯分类做必要的准备，主要工作是根据具体情况确定特征属性，并对每个特征属性进行适当划分，然后由人工对一部分待分类项进行分类，形成训练样本集合。这一阶段的输入是所有待分类数据，输出是特征属性和训练样本。这一阶段是整个朴素贝叶斯分类中唯一需要人工完成的阶段，其质量对整个过程将有重要影响，分类器的质量很大程度上由特征属性、特征属性划分及训练样本质量决定。

      第二阶段——分类器训练阶段，这个阶段的任务就是生成分类器，主要工作是计算每个类别在训练样本中的出现频率及每个特征属性划分对每个类别的条件概率估计，并将结果记录。其输入是特征属性和训练样本，输出是分类器。这一阶段是机械性阶段，根据前面讨论的公式可以由程序自动计算完成。

      第三阶段——应用阶段。这个阶段的任务是使用分类器对待分类项进行分类，其输入是分类器和待分类项，输出是待分类项与类别的映射关系。这一阶段也是机械性阶段，由程序完成。

二、估计类别下特征属性划分的条件概率及Laplace校准

      这一节讨论P(a|y)的估计。

      由上文看出，计算各个划分的条件概率P(a|y)是朴素贝叶斯分类的关键性步骤，当特征属性为离散值时，只要很方便的统计训练样本中各个划分在每个类别中出现的频率即可用来估计P(a|y)，下面重点讨论特征属性是连续值的情况。

      当特征属性为连续值时，通常假定其值服从高斯分布（也称正态分布）。即：

      

      而

      因此只要计算出训练样本中各个类别中此特征项划分的各均值和标准差，代入上述公式即可得到需要的估计值。均值与标准差的计算在此不再赘述。

      另一个需要讨论的问题就是当P(a|y)=0怎么办，当某个类别下某个特征项划分没有出现时，就是产生这种现象，这会令分类器质量大大降低。为了解决这个问题，我们引入Laplace校准，它的思想非常简单，就是对没类别下所有划分的计数加1，这样如果训练样本集数量充分大时，并不会对结果产生影响，并且解决了上述频率为0的尴尬局面。

三、EM算法

解决“隐变量”问题：训练样本所有属性变量的值“不完整”，存在属性变量值未知时，如何对模型参数进行估计。

补充：

1. 模型假设vs性能：

朴素贝叶斯（NB）分类器引入了属性条件独立性假设，解决贝叶斯定理求解时面临的组合爆炸、样本稀疏问题。

这个假设在现实应用中往往很难成立，但很多情形下都能获得相当好的性能——

一种解释是对于分类任务，只需各类别的条件概率排序正确、无须精准概率值即可导致正确分类结果；

另一种解释是，若属性间依赖对所有类别影响相同，或依赖关系的影响能相互抵消，则属性条件独立性假设在降低计算开销的同时不会对性能产生负面影响；

2. 朴素贝叶斯分类器在信息检索领域尤为常用，在文本分类中有两种常见用法[McCallum and Nigam, 1998]