线性方程组的直接解法方法很多，包括Gauss消去法、选主元消去法、平方根法和追赶法等等。但是在MATLAB中，可以直接利用“”或者“/”来解决问题。这两种方法的内部包含非常多的自适应算法，比如对超定方程使用最小二乘法；对欠定方程给出误差范数最小的一个解；对三对角阵方程组使用追赶法。

MathWorks MATLAB R2024b MacOS Apple Silicon/Inter 中文正式免费版

• 类型：商业效率
• 大小：18.0GB
• 语言：简体中文
• 时间：2024-09-13

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一. 直接求解：矩阵除法

对线性方程求解，MATLAB调用格式如下：

x=AB

调用此函数时，矩阵A、B必须具有相同的行数。如果矩阵A没有正确缩放或者接近奇异矩阵，运行代码时，MATLAB就会显示警告信息。

对矩阵A可以分成如下三种情况：

• 如果A是标量，那么AB就等同于A.B
• 如果A是方阵，B是n行矩阵，那么AB就是方程A*X=B的解
• 如果A是矩阵，而且，B是m行矩阵，那么AB返回方程组A*X=B的最小二乘解

例题1

解如下方程：

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[0.4096 0.1234 0.3678 0.2943;0.2246 0.3872 0.4015 0.1129;
    0.3645 0.1920 0.3781 0.0643;0.1784 0.4002 0.2786 0.3927];
b=[0.4043;0.1150;0.4240;-0.2557];
x=Ab;
x' %将结果输出为行向量

运行结果：

ans =

• 0.332683779325239
• -1.412140862756104
• 1.602847655449206
• -0.500293786006566

例题2

A为4阶的幻方矩阵，求解线性方程组Ax=b。b的表达式如下：

备注：幻方矩阵的定义：如果一个数组具有相同行列且每行，每列和对角线上的和都一样，则成这些数组则成为魔方矩阵，又叫幻方矩阵。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=magic(4); %生成四阶的幻方矩阵
b=[34;34;34;34];
x=Ab;
x'

运行结果：

ans =

• 0.980392156862745
• 0.941176470588235
• 1.058823529411765
• 1.019607843137255

分析：

4阶的幻方矩阵是奇异矩阵，奇异矩阵也能求解，但是MATLAB会生成警告，警告信息如下：

警告: 矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确。RCOND = 4.625929e-18。;

例题3

对线性方程组Ax=b进行求解，并分析是否有误差。A，b矩阵如下：

，

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[1 2 0;0 4 3];
b=[8;18];
x=Ab
E=norm(b-A*x) %求范数误差

运行结果：

x =

• 0
• 3.999999999999997
• 0.666666666666670

E =

7.160723346098895e-15

分析：此方程属于欠定方程，MATLAB采用最小二乘法进行求解，所以会出现误差

另外最后举一个利用稀疏矩阵对简单线性方程组Ax=B进行求解。

MATLAB代码：

clc;clear;
A=sparse([0 2 0 1 0;4 -1 -1 0 0;0 0 0 3 -6;-2 0 0 0 2;0 0 4 2 0]);%稀疏矩阵
B=sparse([8;-1;-18;8;20]); %稀疏矩阵
x=AB
E1=norm(B-A*x) %范数误差

运行结果：

x =

• (1,1)      1.000000000000000
• (2,1)      2.000000000000000
• (3,1)      3.000000000000000
• (4,1)      4.000000000000001
• (5,1)      5.000000000000001

E1 =

4.189529226675416e-15

二. 直接求解：判断求解

给定矩阵A,B如下：

形成解的判定矩阵C如下：

线性方程组有解的判断定理将分成三种情况：

2.1 m=n且rank(A)=rank(C)=n

此时，方程组有唯一的解 

例题4

求解如下方程组：

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 4;4 1 3 2];
B=[5 1;4 2;3 3;2 4];
C=[A B];
%判定前提条件
rank_A=rank(A)
rank_C=rank(C)
%求解
x1=inv(A)*B
%计算范数误差
E1=norm(A*x1-B)
%计算精确解
x2=inv(sym(A))*B
%计算范数误差
E2=norm(A*x2-B)

运行结果：

• rank_A =4
• rank_C = 4

x1 =

• -1.800000000000000   2.399999999999999
• 1.866666666666666  -1.266666666666667
• 3.866666666666667  -3.266666666666667
• -2.133333333333333   2.733333333333333

E1 =7.291088482824584e-15

x2 =

• [ -9/5, 12/5]
• [28/15, -19/15]
• [ 58/15, -49/15]
• [ -32/15, 41/15]

E2 =0

2.2 rank(A)=rank(C)=r<n

此时方程组有无穷多个解。将原方程组可以转化为对应的齐次方程组的解，形式如下：

此时需要求取A矩阵的化零矩阵，MATLAB格式如下：

Z=null(A)

 或者求取A矩阵的化零矩阵的规范形式，MATLAB格式如下：

Z=null(A,'r')

例题5

求解以下方程组:

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];
B=[1;3;2;6];
C=[A B];
%判断可解性
rank=[rank(A),rank(C)]
%求解出规范化的化零空间
Z=null(sym(A))
%求特解
x0=sym(pinv(A)*B)
%验证得出的解
a1=randn(1);
a2=rand(1); %a1和a2是不同分布的随机数
x1=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;
E=norm(double(A*x1-B))
%将通解表示出来
syms a3 a4;
x2=a3*Z(:,1)+a4*Z(:,2)+x0

运行结果：

rank =2

分析：说明有解，且解不止一个

Z =

• [    2,    3]
• [ -5/2, -7/2]
• [    1,    0]
• [    0,    1]

分析：此结果可以解释为，如下等式：

&1 end{bmatrix}begin{bmatrix}x_3\x_4 end{bmatrix}” />

x0 =

• 125/131
• 96/131
• -10/131
• -39/131

E =0

分析：此方法求出的结果没有误差

x2 =

• 2*a3 + 3*a4 + 125/131
• 96/131 – (7*a4)/2 – (5*a3)/2
• a3 – 10/131
• a4 – 39/131

分析：此结果可以写成通式如下：

end{bmatrix}+a_4begin{bmatrix}3\-3.5 end{bmatrix}+begin{bmatrix}0.9542.7328\-0.0763\-0.2977 end{bmatrix}” />

2.3 

此时只能采用摩尔-彭罗斯（Moore-Penrose）广义逆求解出其最小二乘法，MATLAB格式如下：

x=pinv(A)*B

这种方法只能使误差范数测度||Ax-B||取的最小值，并不能完全符合原始的代数方程。

三. 矩阵求逆解线性方程组

通过反转系数矩阵A，也可以实现对线性方程组Ax=b的求解。不幸的是，与之前反斜杠计算的方法相比，此方法的运算速度会更慢，残差也相对较大。但其实，它也有它的优点，我们来看一道例题。

例题 6

利用八阶的幻方矩阵，来比较MATLAB中x1=Ab和x2=pinv(A)*b两种求解方法的精确度。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=magic(8);
A1=A(:,1:6); %行数全取，列数保留1~6列，具体原因见"分析"
rank_A1=rank(A1)
b=260*ones(8,1); %260是原A矩阵的幻数和
%使用反斜杠法求解
x1=A1b
norm_x1=norm(x1)
E1=norm(A1*x1-b)
%使用pinv()函数求解
x2=pinv(A1)*b
norm_x2=norm(x2)
E2=norm(A1*x2-b)

运行结果：

rank_A1 =3

警告: 秩亏，秩 = 3，tol = 1.882938e-13。

（由于A1矩阵非方阵，所以运算秩时矩阵出现警告，与矩阵秩相关的介绍可以看以下文章）

基于MATLAB的矩阵性质：行列式，秩，迹，范数，特征多项式与矩阵多项式_唠嗑！的博客-CSDN博客

x1 =

• 2.999999999999998
• 4.000000000000000
• 0
• 0
• 1.000000000000002
• 0

• norm_x1 =5.099019513592784
• E1 =1.392373714442771e-13

x2 =

• 1.153846153846151
• 1.461538461538463
• 1.384615384615385
• 1.384615384615383
• 1.461538461538461
• 1.153846153846153

• norm_x2 =3.281650616569467
• E2 =4.019436694230464e-13

分析：

• （1）将A矩阵转换为A1，因为当只有六列时，方程仍然是一致的，依旧存在解，而且解并非全由1组成。另外，由于矩阵低秩，所以会有无数个解。
• （2）根据范数误差计算的结果，两种求解方法精度一致

（3）解x1的特殊之处在于它只有三个非零元素；解x2的特殊之处在于它的norm(x2)非常小