贾浩楠 萧箫 发自 凹非寺

量子位 报道 | 公众号QbitAI

今年，可能是最后一届“纯人类”参赛的IMO （国际奥数竞赛）。

△参加2020年IMO的中国代表队（李金珉的官方年龄信息有误）

因为在明年，AI可能也会加入这场金牌争夺战中，成为一名“种子选手”。

这名潜入IMO赛事的AI名为Lean，由微软的研究人员开发。

目前，他们正计划让Lean参与明年的国际奥数竞赛。

也就是说，它将与世界各国的奥赛选手一起争夺IMO金牌。

准备在IMO上一展身手的Lean

其实，微软研究人员让AI参加IMO的理由，原因是它是个很好的实验工具（工具人）。

微软研究员Selsam是挑战赛IMO Grand Challenge的创始人之一，他表示，这项比赛的目的是训练一个人工智能系统，以便在世界顶级数学竞赛中赢得金牌。

因为这里不仅有数学上“最简单”的难题（连高等数学都用不上，但就是做不出来），而且还汇集了来自世界各地的顶尖高手。

如果AI能像人一样证明这些数学定理，某种程度上也能说明，让它“像人一样思考”不会太过困难。

基于这个想法，微软的研究人员从2013年开始研发Lean，希望让AI能拥有自主判断、根据假设进行演绎的能力。

也就是说，它是个旨在缩小交互式定理证明、与自动定理证明之间的差距的开源项目。

自动定理证明：对数学中提出的定理或猜想，寻找一种证明或反证的方法。系统不仅能根据假设进行演绎，还要有一定的判定技巧。

交互式定理证明：借助计算机辅助证明工具，理解检验数学定理正确性，完成数学定理的证明。

Lean已经推出了3个版本，现在的第四个版本Lean 4还在完善中，现在的逻辑系统基于依赖类型理论，已经强大到足以证明所有的常规数学定理。

也就是说，想要让它自己证明IMO中提出来的、此前“没见过的”数学问题，依旧非常困难。

目前，Lean 4还没有彻底做好准备，作者Leonardo de Moura表示，如果让它参加今年的IMO，“可能只能得0分”。

因为，Lean目前甚至无法理解某些数学问题需要涉及哪些概念，而这些概念本身又是“什么意思”。

证明的“第一步”，就难住了算法

对于不少人来说，数学十分抽象、难以学好。

事实上，AI和你的感觉一样。

一般的工程应用问题中，AI得心应手，因为在预训练阶段，算法模型已经对一类问题有所了解。

也就是说，AI现阶段能干的活仍然有限，通常要给定条件和数据，经过持续的“刷题”，才能做“更复杂的计算”。

这是一个从“1”到“2”、“3”，甚至是无穷的过程。

但数学问题的证明本质并不一样，证明一个公理，或是一个复杂的等式，需要完全“白手起家”。

证明的第一步：提出一个合理证明路径。这个从0到1的关键，目前只有人类的大脑能胜任。

绝大部分AI，很难给出证明思路的第一步。

拿一个最简单最古老的数学公理来说，公元前300年，欧几里得就证明了质数有无限多个。

而要证明这一结论，关键是要认识到，总是可以通过乘所有已知的质数并加1来找到一个新的质数。有了这个思路，接下来的证明就很简单了。

但“想到这个思路”这一行为本身，对于AI来说，难度巨大。

说回IMO，正式比赛中的3道题目，尽管不涉及微积分等高等数学，但无一不是要求选手利用中学的所有数学知识，进行巧妙的构思给出解题方法。

比如这道2005年IMO真题：

当时不同国家的参赛选手至少给出了3种不同的证明，其中被广泛认可讨论的解法，采用柯西不等式简化的思路，篇幅大概需要半页A4纸。

而另一位来自摩尔多瓦的选手，极富创造性的用两行式子完成了证明：

上面一行是“因为”，下面一行就是“所以”，其简洁、精准甚至可以说“粗暴有效”震惊全场。

精巧的思路也获得了当年的IMO特别奖。

要说明的是，IMO特别奖不看总成绩，只颁给解题方法独到的选手。

这种石破天惊的“第一步”，对于现在的AI来说，几乎是不可能做到的。

这也许就是为什么微软的研究人员设定的目标是“冲击金奖”吧。

巧的玩不转，Lean采取什么方法跟人类大脑竞争呢？

Lean如何学数学？

Lean和所有AI算法一样，需要“喂数据”进行训练。

目前的Lean，不但无法设计出完整的IMO题目证明过程，它甚至无法理解其中一些问题所涉及的概念。

所以，Lean的首要任务是学习更多的数学知识。

训练数据来自Mathlib的库。Mathlib是一个数学基础数据库，它几乎包含了大学二年级以下所有数学知识。

但Mathlib在中学数学上仍有一些差距，团队正在对Mathlib数据库进行补全。

掌握知识只是第一步，如何灵活运用才是关键。

团队采取的方法与象棋、围棋AI等相同——遵循决策树，直到算法找到最优解。

许多IMO题目的关键是寻找某种证明的模式。深入数学证明的底层，是一系列非常具体的、有逻辑的步骤。

研究人员尝试通过IMO题目证明的全部细节来训练Lean。

但在这种方法也有局限，每个特定的题目证明对于算法来说太“专”，下一个不同类型题目仍然不会解。

为了解决这个问题，团队需要数学家写出之前IMO题目的详细形式化证明。然后，团队提炼证明中的采用的不同策略。

接下来，Lean的任务，就是在这些策略中寻找一个 “胜利 “的组合。

这项任务实际上比描述起来困难的多，团队这样比喻它：

在围棋中，目标是找到最好的一步棋。而在数学中，目标是找到最好的一盘棋，然后在这盘棋中找到最好的一步棋。

团队说，也许到了明年，获得金牌仍然是很困难的，但至少，Lean有机会参赛了。

对此，有网友感叹AI这些年神速的进展：先是国际象棋、又是围棋……现在，AI又要来攻占国际奥赛金牌了。

但也有网友持悲观态度，认为AI现阶段只能在某些方面趋近人类的水平。

目前AI的算法，都是建立在人类认知基础上的……所以像（证明数学定理）这样特殊的任务，我持消极态度，毕竟世界上只有少部分人能提供帮助。

“什么是数学思想？”

这个问题出乎意料的难以解释透彻。数学家在尝试解决新问题时，大脑的活动是难以描述的，更不要说落实在算法上。

尽管已经有AI团队朝数学思想的深层迈出了一步，但是从他们采取的策略来看，仍然是学习过往思路，选择成功率最高的“排列组合”。

这样的AI算法，要在创造力和突破性上超越人类，“火候”还差得远。

而隔壁的GPT，也在数学证明方向上取得了初步成果。

最近，OpenAI推出了用于数学问题的GPT-f，利用基于Transformer语言模型的生成能力进行自动定理证明。

由GPT-f发现的23个简短证明已被Metamath主库接收，这也是首次AI的数学证明获得业内认可。

GPT真的是要砸所有人的饭碗，连数学家都不放过。

那么，Lean和GPT-f，你更看好哪一个呢？

项目链接：

https://leanprover.github.io/

在线可玩：

https://leanprover.github.io/live/master/

参考链接：

https://leodemoura.github.io/

https://www.quantamagazine.org/how-close-are-computers-to-automating-mathematical-reasoning-20200827/

https://www.quantamagazine.org/at-the-international-mathematical-olympiad-artificial-intelligence-prepares-to-go-for-the-gold-20200921